Martin Schottenloher 3.3.1997

Programm

des Seminars 1997

Darstellungstheorie von Matrixgruppen und Lie-Gruppen

Vorbemerkung: Der Schwerpunkt des Seminars liegt auf dem Begriff “Darstellungstheorie” von Gruppen. Bereits für den Fall von endlichdimensionalen Gruppen — die ja als kompakte, 0-dimensionale Lie-Gruppen aufgefaßt werden können — ergeben sich viele interessante Aspekte. Ein Großteil der Resultate läßt sich auf den Fall von kompakten topologischen Gruppen verallgemeinern. Hauptziel des Seminars ist die Behandlung des Satzes von Peter und Weyl.

Voraussetzungen: Kenntnisse in linearer Algebra (MIB, MIIB) und Analysis (MIA, MIIA, MIIIA).

Die Vorträge sollen frei gehalten werden. Der Wert instruktiver Beispiele kann nicht überschätzt werden.

Das Seminar konzentriert sich auf die folgenden fünf Vorträge:

1 Grundlegende Begriffe

(Alexandra Hoffmann)

Vorweg ganz kurz:

• Komplexe Hilberträume H, abgeschlossene Unterräume, Projektionen, stetige (also beschränkte) lineare Operatoren, B(H) = L(H, H), Normtopologie und starke Topologie darauf (mit Beispielen!)

• Topologische Gruppen, kompakte und endliche (Spezialfall!) Gruppen, Lie-Gruppen

und dann der eigentliche Vortrag:

• erste Begriffe der Darstellungstheorie:

– Darstellungen von Gruppen in Hilberträumen, rechtsreguläre Darstellung auf endlichen und nach Möglichkeit auf kompakten Gruppen. Dazu: ganz kurz(!) Haar-Maß axiomatisch einführen. Beispiele: Endliche Gruppe, U(1) und SU(2).

– reduzibel, irreduzibel, vollständig reduzibel (Beispiele!)

– Unitäre Darstellungen sind vollständig reduzibel

1.1 Literatur

Kapitel I von [11] (natürlich außer I.5, siehe Vortrag 3), und Anfang von Kapitel II; außerdem I.2 und II.1 von [12] vgl auch Kapitel II von [1], Anhang A von [9] und die umfangreiche Literatur zur Darstellungstheorie; einige Bücher sind unten aufgeführt

2 Charaktertheorie

(Stefanie Kuntze)

• Charaktertheorie einer endlichdimensionalen Darstellung

• Schurs Lemma und Orthogonalitätsrelation (auch für kompakte Gruppe)

• Zerlegung der rechtsregulären Darstellung und kanonische Zerlegung einer endlichen Gruppe

• Beispiele

2.1 Literatur

[11] II.1, und Beispiele aus V.1 - 9 zum Auftakt. Schur und mehr ebenfalls in [11] II.2 - 7. Der kompakte Fall z.B. in [12]. Siehe auch [5], [6] und [1].

3 Produkte von Gruppen und induzierte Darstellun-

gen

(Herbert Zwingler)

• Tensorprodukte von Vektorräumen und linearen Abbildungen

• direktes Produkt von Gruppen, semidirektes Produkt von Gruppen (Beispiele!, etwa Diedergruppe, euklidische Gruppe, Galilei- oder Poincarégruppe)

• Anwendungen dieser Produkte in der Darstellungstheorie:

– Tensorprodukt von Darstellungen

– Darstellungen von Produkten von Gruppe

– induzierte Darstellungen

– etc.

3.1 Literatur

Siehe Kapitel I.5 und III von [11]. Vergleiche auch [3], besonders für konstruktive Einführung in das Tensorprodukt (aber bitte Axiomatik nicht vergessen) und für viele Beispiele. Neben [11] auch [1] für induzierte Darstellungen.

4 Invariante Integration auf kompakten Gruppen— Das Haarsche Maß

(Martin Härting)

• Axiomatische Einführung

• Beweis der Existenz des Haar-Maßes

• Beispiele (neben den euklidischen Räumen und der Kreislinie u.a.: Torus und 3-Sphäre)

• (je nach Zeit) Bedeutung der Existenz einer invarianten Integration (Übertragung vieler Sätze von endlichen auf kompakte Gruppen, etwa Elemente der Charaktertheorie von Vortrag 1, jede endlichdim. Darstellung einer kompakten Gruppe ist unitär,…)

4.1 Literatur

Siehe [7] Kapitel VI (schön und abstrakt) und [8]. Vergleiche III.4 in [4]. Eine elementare Darstellung findet sich auch in [10]. Die Axiomatik erscheint besonders präzise in [2], 2.1. Speziell für kompakte Matrix-Gruppen in [1] I.5.

5 Der Satz von Peter/Weyl

(Bernd Strüber)

Der Satz von Peter und Weil wird in [12] kurz und schmerzlos (Seite 19!) bewiesen. Vorher wird natürlich einiges an Vorbereitung dazu benötigt, vor allem I.3 von [12] und Hilbertraumtheorie. Insbesondere wird der Spektralsatz für kompakte Operatoren benötigt. (Es erscheint sinnvoll zu sein, einen Extravortrag über Lineare Operatoren einzuschieben!) Vergleiche auch III.3 von [1]. Ausserdem u.U. Satz von Stone/Weierstraß (z. Bsp in [7], I.4).

Falls die Zeit es erlaubt: erste Folgerungen aus dem Satz, etwa nach [1] III.4.

Darüberhinaus können noch folgende Themen vergeben werden:

6 Alhambragruppen, Kristallographische Gruppen

7 Fouriertransformationen auf Gruppen

8 Ein Vergleich: Darstellungen von Lie-Algebren und Darstellungen von Lie-Gruppen Literatur

[1] Bröcker, T./Dieck, T.t. Representations of Compact Lie Groups Springer, 1985 [2] Edwards, R.E. Integration and Harmonic Analysis on Compact Groups Cambridge

Univ. Press, 1972

[3] Hein, W. Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen Springer, 1990 [4] Hilgert, J./Neeb, K.-H. Lie-Gruppen und Lie-Algebren Vieweg, 1991

[5] Kirillov, A.A. Elements of the Theory of Representations Springer, 1976

[6] Kurzweil, H. Endliche Gruppen Springer, 1977

[7] Loomis, L.H. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis van Nostrand, 53 [8] Nachbin, L. The Haar Integral von Nostrand, 1965

[9] Price, J.F. Lie Groups and Compact Groups (siehe v.a. Appendix A) Cam. Univ. Press, 1977

[10] Robert, A. Introduction to the Representation Theory of Compact and Locally Compact Groups Cam. Univ. Press, 1983

[11] Serre, J.-P. Linear Representations of Finite Groups Springer, 1977

[12] Sugiura, M. Unitary Representations and Harmonic Analysis Kodansha, Tokyo 1975 [13] Varadarajan, V.S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations Springer,

1984

Sprechstunden: Martin Schottenloher, Zi. 437, App.: 2394 4432, Sprechstunden ab Ende März nach Aushang Fragen auch gerne an: Jens Lang, Zi. 403, App.: 2394 4403, Sprechstunden im April nach Aushang

Nächster gemeinsamer Besprechungstermin: 1. Mittwoch im Sommersemester, 16 ct Voraussichtlicher Beginn: 2. Mittwoch im SoSe, 16 ct