Martin Schottenloher 8. M_{}ärz 1996

PROGRAMM

des Seminars B 1996

Die Seiberg-Witten-Invarianten für 4-Mannigfaltigkeiten

Montag, 14-16, Hs 134

Vortrag T:  6.5.1996
Vortrag 1:  13.5.1996
Vortrag 2:  20.5.1996
Vortrag 3  Ersatz für 27.5.1996?

etc.

Vorbemerkungen:

Elementare Kenntnisse über Topologie, differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Differentialgeometrie werden vorausgesetzt.

Um zunächst die Formulierung der Seiberg-Witten-Gleichungen auf einer 4-Mannigfaltigkeit verstehen zu können, werden die Grundzüge der abelschen Eichtheorie sowie die Definition des Dirac-Operators benötigt. Dazu wiederum gehören Kenntnisse über Clifford-Algebren und Spingruppen und über Zusammenhänge auf Prinzipalfaserbündeln. Jeder Seminarteilnehmer sollte aus diesem Grunde zunächst die vergleichsweise einfache Theorie der Clifford-Algebren und Spingruppen gründlich studieren (etwa im Umfang von [Mo] und weiterführend z.B. in [LM]; für das Seminar ist im wesentlichen nur der Fall eines vierdimensionalen reellen Vektorraumes mit positiv definitem Skalarprodukt von Bedeutung). Außerdem ist es nötig, sich einige Grundkenntnisse über Prinzipalfaserbündel mit ihrer Geometrie (Zusammenhänge und Krümmung) anzueignen. Das sollte zumindest soweit gehen, daß die Beispiele der folgenden Prinzipalfaserbündel verstanden worden sind: Bündel aller Basen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, Bündel aller Orthonormalbasen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, U(1)-Bündel zu einem komplexen Geradenbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und der Begriff des Zusammenhangs auf diesen Bündeln. Das läßt sich lernen nach vielen Quellen, z.B. [BGV], [LM], [Sch], [WW], und das Lernen sollte soweit vorangetrieben werden, daß der für das Seminar grundlegende Text [Mo] gelesen werden kann.

Das Seminar besteht aus 2 Teilen. Der erste Teil befaßt sich mit Vorbereitungen, und hat als Ziel die Definition der Seiberg-Witten-Invarianten. Für diesen ersten Teil ist die Ausarbeitung von J.W. Morgan [Mo] die Hauptreferenz. (Eine Kopie des Preprints [Mo] liegt bei Frau Sauerwein bereit.) Daneben können vor allem die Ausarbeitungen [Sa] und [Ma] zu Rate gezogen werden. Im zweiten Teil des Seminars werden Anwendungen behandelt.

Um einen Überblick zum Thema des Seminars zu gewinnen, empfiehlt es sich, die Artikel [Fr] und [D] zu lesen. Ergänzend zu der unten angegebenen Literatur ist außerdem für verschiedene Vorträge auch das Literaturverzeichnis des Programms der Arbeitsgemeinschaft in Oberwolfach ”Die Seiberg-Witten-Invarianten“, Okt. 1995, von Interesse.

Die Reihenfolge der Vorträge ist noch nicht ganz festgelegt, insbesondere lassen sich die drei mit Buchstaben gekennzeichneten Vorträge, falls sie überhaupt gehalten werden, zu fast beliebigen Zeiten einschieben. Der erste Vortrag, vermutlich Vortrag 1 (evtl. aber Vortrag T), findet am 6. Mai 1996 statt.

Änderungen zu diesem Programm und genaue Termine lassen sich im www abrufen:

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼gadmin4/professoren/schottenloher

Die Vorträge im einzelnen:

Teil I

Vortrag 1: Clifford-Algebren und Spingruppen. (A. Ruf)

Clifford-Algebren, Spingruppen, Spin^{c}-Gruppen und ihre Darstellungen vor allem in der Dimension 4 (vgl. [Mo, I], [LM]). Der Dirac-Operator auf dem Minkowski-Raum und auf dem 4-dimensionalen euklidischen Zahlenraum, Spinoren, Dirac-Gleichung und Klein-Gordon-Gleichung (aus einem Physik-Lehrbuch und ein wenig z.B. aus [Th]). Das Prinzipalfaserbündel der Basen und der Orthonormalbasen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, Levi-Civita-Zusammenhang (z.B. in [LM], [Sch], [WW]).

Vortrag 2: Spin-Struktur und Spin^{c}-Struktur. (C. Römelsberger)

Der Begriff der Spin-Struktur. Vergleich mit dem Begriff der Orientierung. Existenz und Eindeutigkeit unter Verwendung der Stiefel-Whitney-Klassen (vgl. [LM], auch [Fr]). Der Begriff der Spin^{c}-Struktur mit zugehrigem Determinantenbündel. (siehe [LM], [Fr] und [Mo, II])

Satz (Hirzebruch-Hopf): Jede orientierte, kompakte 4-Mannigfaltigkeit hat eine Spin^{c}- Struktur [Mo, II.1.2]. Spinorfelder. Der Levi-Civita-Zusammenhang auf den Spin-Bündeln. Der Dirac-Operator auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit Spin-Struktur bzw. Spin^{c}- Struktur. ([Mo, II], [LM], [BGV], [Fr], [Sa], [WW]) Vergleich mit dem flachen Fall (siehe Vortrag 1).

Vortrag 3: Abelsche Eichtheorie und Seiberg-Witten-Gleichungen. (M. Prähofer)

Zusammenhang, Krümmung, Eichtransformationen auf Prinzipalfaserbündeln, insbesondere auf U(1)-Prinzipalfaserbündeln. Kopplung zwischen Dirac-Operatoren und abelschen Eichfeldern. Die Seiberg-Witten-Gleichungen. Lösungsraum und Scheibensatz. ([Mo, III])

Vortrag 4: Regularität von Lösungen und Kompaktheit des Modulraumes. (J.Lang)

Der elliptische Komplex zu einer Lösung [Mo, III.5]. Weitzenböck-Formel [Mo, IV.1.5]. Regularität der Lösungen bis auf Eichäquivalenz. Eichfixierung und Kompaktheit ([Mo, IV], siehe auch [Ma1], [Sa], [D], [Fr]).

Vortrag 5: Glättung des Modulraumes. (A. Wiesbeck)

Störung des Seiberg-Witten-Gleichungen [Mo, V.1.1], Kompaktheit des gestörten Modulraumes. Variation der Metrik und der selbstdualen Zweiform. [Mo, V.1-5]. Siehe auch [D], [Sa] und [Fr].

Vortrag 6: Orientierbarkeit des Modulraumes, Definition der Seiberg-Witten-Inva-rianten. (T. Tradler)

Nach [Mo, V.6-9] und anderswo ([Sa], [KM], [D], [Fr]).

Vortrag T: Topologie von Mannigfaltigkeiten: Überblick und historische Aspekte. (W. Posch)

Mathematiker: Riemann, Poincare, Hopf, Whitney, Pontrjagin, Thom, Milnor, Freedman, Donaldson, ... Werkzeuge: Homologie, Homotopie, charakteristische Klassen, insbesondere Stiefel-Whitney-Klassen ... Ergebnisse: n = 2 : Klassifikation der 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. n > 4 : h-Kobordismentheorem. n = 3 : top = diff. n = 4 : top ≠ diff. Definition und Bedeutung der Schnittform im vierdimensionalen Fall: Freedman / Rochlin / Donaldson. (Siehe u. a. Einleitung [DK] sowie [Fr], [D]).

Vortrag S: Symplektische Mannigfaltigkeiten. (N.N.)

Symplektische Mannigfaltigkeiten, komplexe Mannigfaltigkeiten. Komplexe und fastkomplexe Strukturen auf einer Mannigfaltigkeit [DS]. Die kanonische Spin^{c}-Struktur einer fastkomplexen 4-Mannigfaltigkeit. Beispiele: Nichtsymplektische 4-Mannigfal-tigkeiten. Komplexe Flächen, die nicht Kählermannigfaltigkeiten sind. Information zur Klassifikation der komplexen kompakten Flächen.

Vortrag P: Die Seiberg-Witten-Gleichungen aus physikalischer Sicht. (N.N.)

Supersymmetrie und Dualität und all das (vgl. z.B. [W]). Evtl. auch (oder in einem zusätzlichen Vortrag): Seiberg-Witten-Funktional, Variation und Landau-Ginzburg-Modell (nach Jost und Mitarbeitern [J]).

Teil II

Vortrag 7: Thom-Vermutung. (N.N.)

Nach [KM] und/oder [Sa].

Vortrag 8: Seiberg-Witten-Invarianten für Summen von 4-Mannigfaltigkeiten: Verschwindungssatz. (N.N.)

Angelehnt an den entsprechenden Satz aus [DK].

Vortrag 9./10./11.: Die Seiberg-Witten-Invarianten für symplektische 4-Mannig-faltigkeiten. (B. Meyer, S., J. Riedl)

Nach Ergebnissen von Taubes [T1, T2] und außerdem Preprints.

Vortrag 12: Seiberg-Witten-Invarianten und Skalarkrümmung komplexer Flächen. (H. Brunke)

Nach Ergebnissen von LeBrun.

Vortrag 13: Seiberg-Witten-Invarianten und Floer-Theorie. (W. Posch)

Nach [Ma2].

Vortrag 14.–: Die Seiberg-Witten-Invarianten und die Gromov-Invarianten. (N.N.)

Nach Preprints und Ankündigungen von Taubes.

Literatur: BGV Berline, N. / Getzler, E. / Vergne, M.: Heat Kernels and Dirac Operators.

Springer-Verlag, 1992. D Donaldson, S.K.: The Seiberg-Witten Equations and Four-Manifold Topology.

Bull. Amer. Math. Soc. 33 (1996), 45-70. DK Donaldson, S.K. / Kronheimer, P.B.: The Geometry of Four-Manifolds. Ox-

ford, 1991. DS McDuff, D. / Salomon. D.: Introduction to Symplectic Topology. Oxford, 1994. Fr Friedrich, T.: Neue Invarianten der 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Vor-

tragsausarbeitung, 1995. J Jost, J.: Variational Problems from Physics and Geometry. Preprint, 1996.

KM Kronheimer, P.B. / Mrowka, T.S.: The Genus of Embedded Surfaces in the

Projective Plane. Math. Research letters 1 (1994), 797-808. LM Lawson / Michelson: Spin Geometry, Princeton, 1989. Ma1 Marcolli, M.: Seiberg-Witten Invariants. Preprint, 1995 Ma2 Marcolli, M.: Seiberg-Witten-Floer Homology and Heegard Splitting. Preprint,

1995 Mo Morgan, J.W.: The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology

of Smooth Four-Manifolds. Preprint, 1995. Sa Salomon, D.: Spin Geometry and Seiberg-Witten Invariants. In Vorbereitung. Sch Schottenloher, M.: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Vieweg, 1995. T1 Taubes, C.: The Seiberg-Witten Invariants and Symplectic Forms. Math. Rese-

arch letters 1 (1994), 809-822. T2 Taubes, C.: More Constraints on Symplectic Forms from Seiberg-Witten Invariants.

Math. Research Letters 2 (1995), 9-14. Th Thaller, B.: The Dirac Equation. Springer-Verlag, 1992. W Witten, E.: Monopoles and Four-Manifolds. Math. Research letters 1 (1994),

769-796. WW Ward, R.S. / Wells, R.O.: Twistor Geometry and Field Theory. Cambridge,