Konrad Königsberger Dierk Schleicher Martin Schottenloher Mai 1996

PROGRAMM

des Seminars A, 1996

Komplexe Dynamik und hyperbolische Geometrie

                                     Letzte Aktualisierung:  14.  Mai 1996

Dienstag, 17-19, HS 251 (Theresienstr.)

Vortrag 1:  7.5.1996
Vortrag 1, Teil 2:  14.5.1996
Vortrag 2:  21.5.1996
Vortrag 3  28.5.1996
Vortrag 4  4.6.1996

Vorbemerkungen:

Jeder Seminarteilnehmer sollte die Möbiustransformationen und ihre Klassifikation etwa im Umfang des ersten Kapitels in [Mas] kennen. Das Buch von Maskit [Mas] ist die Standardreferenz für das Seminar. Der Inhalt der Vorträge 1-5 und 7 stützt sich großenteils auf dieses Buch. Ergänzungen erscheinen aber wünschenswert, insbesondere im Hinblick auf die Aspekte der hyperbolischen Geometrie. Daher die vielen weiteren Hinweise. Im Hintergrund stehen die Resultate von Thurston, und die besten Ergänzungen zu Maskit lassen sich aus [Thu] erarbeiten.

Änderungen zu diesem Programm und genaue Termine lassen sich im www abrufen:

       http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼schotten/96SemAP.dvi

Die Vorträge im einzelnen:

Vortrag 1: Überlagerungstheorie und Flächen. (H. Mündlein)

Die Fundamentalgruppe von lokal einfach zusammenhängenden topologischen Räumen (vgl. z.B. [For], [SZ]). Beispiele: Die Kreislinie, die Acht, die n-fach punktierte Ebene, der Torus, der Volltorus ... . Bericht: Satz von Seifert/van Kampen [Gra], [SZ]. Charakterisierung der geschlossenen Flächen (i.e. der 2-dimensionalen kompakten orientierten topologischen Mannigfaltigkeiten) durch ihre Fundamentalgruppe. Interpretation des Geschlechts als Anzahl der Henkel, Zerlegung der Flächen in ”pants“ [Gra, Gri, Ray, BeP, S. 55ff]. (Evtl.: Der Fall der nichtorientierbaren Flächen.) Konstruktion der Flächen als Quotienten von 2n-Ecken. Pflasterung der Ebene durch 2n-Ecke (Ausblick: Hyberbolische Struktur! [BeP, S. 60]) Beispiele von Fundamentalgruppen von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten: Der Außenraum eines Knotens im R^{3} [Rol]. (Unverzweigte) Überlagerungen von lokal einfach zusammenhängenden topologischen Räumen. Die universelle Überlagerung X̃ eines solchen Raumes. Normale Untergruppen der Fundamentalgruppe von X und Unterlagerungen von X̃: Galoistheorie. (Alles in [For], [Mas, Chapter III], [SZ] oder in [Ray].) Sofern bei den Teilnehmern nicht bereits bekannt bzw. nach Möglichkeit selbständig erarbeitet: Der Begriff der Riemannschen Fläche. Riemannsche Flächen als Konformklassen von Flächen mit einer Riemannschen Metrik, isotherme Koordinaten [DoC]. Schließlich: Die Möbiusgruppe als die Gruppe der biholomorphen Abbildungen des P_{1} nach P_{1} und als SL(2, C)/{+1, −1}.

Vortrag 2: Kleinsche Gruppen. (D. Schleicher)

Lie-Gruppenwirkungen auf Mannigfaltigkeiten und Quotienten unter Mannigfaltigkeiten (z.B. wie in [Thu, S.140]). Diskrete Untergruppen der Möbiusgruppe und ihre Wirkungen auf der Riemannschen Zahlenkugel. Der Begriff der Kleinschen Gruppe [Bea, Ber1, Cra, Mas, Kra, Kru, ... ]. Grenzmengen von Kleinschen Gruppen. Die Charakterisierungen der Grenzmenge einer Kleinschen Gruppe (z.B. wie in [McM]). Aufbau des Vortrags ansonsten wie der von L. Bers in [Cra].

Vortrag 3: Hyperbolische Geometrie. (V. Umpfenbach)

Die Poincaré-Kreisscheibe oder Ebene als Einstieg mit ihrer Längenmessung und mit ihren Geraden (= Geodätischen) [FiL]. Die fundamentalen Modelle der hyperbolischen Geometrie und ihre Isometriegruppen (in beliebiger Dimension). (Zu finden z.B. in [Mas, IV], [Bea], [BeP], [Rat], [Thu], [I], [Mi]). Die Elementargeometrie in der hyperbolischen Ebene und im hyperbolischen Raum im Vergleich zur euklidischen (und evtl. sphärischen) Geometrie. Der konvexe Kern einer kompakten Teilmenge von ∂B^{3} in B^{3}. (Optional: Die Modelle der hyperbolischen Geometrie als Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Krümmung von Flächen mit Riemannscher Metrik [DoC], Schnittkrümmung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Charakterisierung der Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung [KoN]. Einordnung der Modelle im Rahmen dieser Ergebnisse.) Charakterisierung der Hyperbolischen Geometrie durch ihre Invarianz unter Automorphismen. Kleinsche Gruppen G als Isometriegruppen des hyperbolischen Raumes B^{3} (Fortsetzung der Elemente von G nach B^{3}). Der Quotient von B^{3} nach einer solchen Gruppenwirkung. Was passiert am Rande? Der Begriff der hyperbolischen Mannigfaltigkeit. (Evtl. im Rahmen der Einführung von geometrischen Mannigfaltigkeiten (wie in [Th] mit Hilfe von Pseudogruppen.)

Vortrag 4: Kleinsche Gruppen und Riemannsche Flächen. (J.Riedl)

Der Riemannsche Abbildungssatz (ohne Beweis), z.B. nach [For]. Folgerungen für kompakte Riemannsche Flächen: Einteilung nach Topologietyp der universellen Überlagerung). Fundamentalbereich einer kompakten Riemannschen Fläche (in [Mas, II], [For], [Ray], [FiL] und anderswo). Der Fall von Fuchsschen Gruppen. Bericht: Der Satz von Ahlfors [McM]. Überlagerungstheorie [Mas, III], soweit nicht im zweiten Vortrag abgehandelt. Der Teichmüllerraum der hyperbolischen Strukturen einer Riemannschen Fläche [Thu, Cra, Ber2], [ImT, BeP, S. 61ff.]. Fundamentalpolyeder zu hyperbolischen Mannigfaltigkeiten [Thu, Cra].

Vortrag 5: Spezielle Klassen von Kleinschen Gruppen: Geometrische Basisgruppen. (H. Mündlein)

Dieser Vortrag soll gerade das Kapitel V aus [Mas] abdecken. Zum Vergleich lese man in [Cra].

Vortrag 6: Hyperbolische Geometrie von Drei-Mannigfaltigkeiten (J. Zimmer)

Darstellung von Kapitel 3 aus [Thu], soweit nicht bereits in den vorhergehenden Kapiteln besprochen; insbesondere ab Abschnitt 3.5. Siehe auch [Rat].

Vortrag 7: Kombinationssätze. (K. Linde)

Auf Klein zurückgehend, gibt es einige Kombinationssätze, zwei oder mehreren Kleinschen Gruppen zusammenzusetzen zu einer neuen, analog dem “mating” von Polynomen zu rationalen Abbildungen. Diese sind von Maskit extrem verallgemeinert worden. In dem Vortrag sollen wahlweise die grundlegenden Kleinschen Kombinationssätze oder deren Verallgemeinerungen (siehe Kapitel VII in [Mas]) vorgestellt werden. Weitere Referenzen: [Mar] und [Thu].

Vortrag 8: Das Lexikon. (N.N.)

Vergleich, Analogie und Beziehungen der Grundbegriffe der Komplexen Dynamik einerseits und der in den Vorträgen 1-7 vorgestellten Theorie.

Vortrag 9: Kleinsche Gruppen, komplexe Dynamik und algebraische Korrespondenzen. (D. Schleicher) In diesem Vortrag soll die Theorie iterierter algebraischer Korrespondenzen vorgestellt werden als Ansatz, die dynamische Theorie Kleinscher Gruppen und iterierter holomorpher Funktionen zu verbinden. Exemplarisch soll eine neuere Arbeit von Bullett und Penrose vorgestellt werden, in der eine Familie algebraischer Korrespondenzen beschrieben wird, die die Dynamik der Modulargruppe (SL_{2}(Z)) und quadratischer Polynome verbindet.

Literatur:

A Ahlfors, L.: Lectures on Quasiconformal Mappings. Van Nostrand, 1966. Bea Beardon, A.: The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, 1983. BeP Benedetti, R. / Petronio, C.: Lectures on Hyperbolic Geometry Springer-

Verlag, 1992. Ber1 Bers, L.: Uniformization, moduli and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc.

4 (1972), 257-300. Ber2 Bers, L.: The moduli of Kleinian groups. Russian Math. Surveys 29 (1974), 88-102. BP Bullett, S./ Penrose, C.: Algebraic Correspondences. In preparation. Erhält-

lich bei Dierk Schleicher. Cra A Crash Course on Kleinian Groups. Springer Lecture Notes 400, 1974. DoC DoCarmo, M.: Differential geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall. FiL Fischer, W. / Lieb, I.: Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie. Vieweg. For Forster, O. Riemannsche Flächen. Springer-Verlag. Gra Gramain:Topologie des surfaces. Gri Griffiths Introduction to Surfaces.

I Iversen: Hyperbolic Geometry. Oxford University Press. ImT Imayoshi, Y. / Taniguchi, M.: An Introduction to Teichmüller Spaces. Springer-

Verlag, 1992. KoN Kobayashi / Nomizu: Foundations of Differential Geometry I,II. Interscience, Kra Kra, I.: Automorphic Forms and Kleinian Groups. W.A. Benjamin, 1972. Kru Krushkal: Kleinian groups and uniformization in examples and problems. McM McMullen, C.: The classification of conformal dynamical systems. Preprint,

erhältlich über http://math.berkeley.edu/ctm, oder bei Dierk Schleicher. Mar Marden, A. The geometry of finitely generated Kleinian groups. Annals of Math.

99 (1974). Mas Maskit, B.: Kleinian Groups. Springer-Verlag, 1988. Mi Milnor: Hyperbolic Geometry: the first 150 years. Bulletin of the American Ma-

thematical Society. 6 (1982). Ota Otal, J.-P.: Le théorème d’hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension

trois. Astérisque, erscheint demnächst. Rat Ratcliffe: Foundations of hyperbolic manifolds. Springer-Verlag, GTM 149. Ray Raynaud: .. Riemann surfaces .. Rol Rolfson, D.: Knots and Links. Publish or Perish, 1976 SZ Stöcker, H., Zieschang, H.: Algebraische Topologie. Teubner. Thu Thurston, W.P.: Three-Dimensional Geometry and Topology. University of Min-

nesota preprint, 1990. Erhältlich vom Geometry Center in Minnesota, admin@geom.umn.edu, oder bei Dierk Schleicher.

Thu2 Thurston, W.P.: Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 357-381.