Martin Schottenloher August 1996

PROGRAMM

des Proseminars, WS 1996/97

Klassifikation der Flächen

                                  Letzte Aktualisierung:  14.  August 1996

Montag, 14-16, HS E41 (Theresienstr.)

Vorbemerkungen:

Mit drei Teilnehmern (Stand Aug. 1996) sind wir eine kleine aber feine Truppe. Ziel des Proseminars unter diesen Bedingungen ist es, elementare Beweise für den Klassifikationssatz vorzutragen und zu analysieren. Das Proseminar beginnt nicht vor dem 11.11.1996. Zu diesem Termin wird ein endgültiges Programm festgelegt. Fragen sollten aber längst vorher besprochen werden. Z. B. habe ich am 2.9. um 15 Uhr eine Sprechstunde.

Änderungen zu diesem Programm und genaue Termine lassen sich im www abrufen:

       http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼schotten/967ProsP.dvi

Die Vorträge im einzelnen:

Vortrag 1 und 2: ”Vorbereitungen und erster Beweis des Klassifikationssatzes“ (I. Hochstetter und R. Hofmann)

• Vorspann: Der Begriff der Fläche.

Definitionen von: Topologischer Raum, stetige Abbildung, topologische Abbildung (i.e. Homöomorphismus), metrischer Raum, Hausdorff-Raum, n-dimen-sionale (topologische und differenzierbare) Mannigfaltigkeit [D und anderswo]. (Diese Begriffsbildungen müssen nicht in voller Allgemeinheit verstanden und erläutert werden. Wohl aber die folgenden Beispiele:) R, S (Kreislinie; direkt in R^{2} und als Quotientenmannigfaltigkeit R/Z), Torus (in R^{3} und als Quotient), projektive Ebene (als Quotient), ”Flächen“ im R^{3}, R^{3}, Volltorus und projektiver Raum. Weiterhin: Knotenaußenraum, R^{n}, Graphen von stetigen Abbildungen R^{k} → R^{m} disjunkte Vereinigung, Zusammenhang, (optional: zusammenhängende Summen).

• Klassifikation der eindimensionalen Mannigfaltigkeiten Jede zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit ist äquivalent (i.e. homöomorph) zu R oder zu S (ohne Beweis; vgl. [Gra]).

• Triangulierung Der Begriff der Triangulierung einer Fläche. Möglichst elementar aus dem allgemeinen Fall (topologische Raum) herausarbeiten (vgl. [D, C]; evtl. mit Blick auf den allgemeinen Fall. Ohne Beweis:) Satz von Radò: Jede Fläche besitzt eine Triangulierung. Aufgrund dieses Satzes ist im folgenden eine Fläche jeweils trianguliert und wird daher aufgefaßt als ein 2-Komplex bzw. eine kombinatorische Fläche, eine ”Papierfläche“, bzw. eine rekursiv durch Zusammenfügen von Dreiecken und Vierecken entstandene Fläche (vgl. [D, Gri, GP, S]). Der Satz gilt auch für Flächen mit Rand und wird für diesen Fall benötigt. Also gilt es an dieser Stelle, Flächen mit Rand einzuführen mit Beispielen, falls nicht schon weiter oben geschehen. ((Ein Teil dieser Vorbereitungen könnte auch von mir vorgetragen werden; mehr dazu wird demnächst festgelegt.))

• Klassifikation der ebenen, kompakten Flächen mit Rand Dieser fast triviale Fall soll nur auf den allgemeinen Fall vorbereiten (vgl. [S, II.6]). Dazu wird der Jordansche Kurvensatz benötigt.

• Klassifikation der kompakten Flächen mit Rand Eulerzahl, Geschlecht, Orientierung, Randkomponentenanzahl von allgemeinen kompakten Flächen mit Rand. Interpretation des Geschlechts als Anzahl der Henkel. Ansonsten nach [S, II.8]. (Optional: Beweis zum Jordanschen Kurvensatz, Fundamentalgruppe)

Vortrag 3: Klassifikation der Flächen mittels der Fundamentalbereiche (D. Hobst) Einstieg: Flächen als Quotienten von 2n-Ecken, insbesondere die Beispiele: Sphäre, Sphäre mit einem Loch, Zylinder, Möbiusband, Torus, Kleinsche Fläche, projektive Ebene. Klassifikation ansonsten nach [D] unter Berücksichtigung der in den Vorträgen 1 und 2 verwendeten Begriffe (mit Vergleich). (Optional: Übungen in [D], Fundamentalgruppen der Flächen)

Vortrag 4: Knotentheorie (N.N.)

Literatur:

C Croom, F.H.: Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag (1978). D tom Dieck, T.: Topologie. De Gruyter (1991).

DoC DoCarmo, M.: Differential geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall. (Über-

setzung ins Deutsche existiert.) For Forster, O. Riemannsche Flächen. Springer-Verlag. GP Gilbert, N.D. / Porter, T.: Knots and Surfaces. Oxford Univ. Press (1994). Gra Gramain, A.:Topologie des surfaces. Presses Univ. de France (1971) Gri Griffiths, H.B. Surfaces. Cambridge univ. Press (1976) M Moise, E.: Geometric Topology in Dimension 2 and 3. Springer-Verlag (1977). S Schottenloher, M.: Geheimwissenschaft Mathematik. Ein Blick auf die Mathe-

matik mit Beispielen zu Zahlen, Flächen und Knoten. Preprint Nr. 6 des Graduiertenkollegs ”Mathematik im Bereich ihrer Wechselwirkung mit der Physik“ (1993).

Adressen der Teilnehmer (Telefon??):

• Hochstetter, Iris Vimystr. 12, 85354 Freising

• Hofmann, Ralf Rosenstr. 3a, 85778 Haimhausen

• Hobst, Daniela Osterhausenstr. 6a, 90459 Nürnberg

M. Schottenloher, Tel.: (089) 2394 4432 / (089) 300 68 27