Lineare Algebra I: Themenübersicht der Vorlesungen
17. Oktober
Aussagen, Wahrheitswerte, Wahrheitstafeln und logische Operatoren (speziell: Negation, Konjunktion (logisches Und), Disjunktion (logisches Oder), Implikation, Äquivalenz). Beispiele für logisch verknüpfte Aussagen.19. Oktober
Bestimmung von Wahrheitswerten. Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Tautologien. Regeln: Kommutativität und Assoziativität von Konjunktion und Disjunktion, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan, Kontraposition. Logische Begründung des Widerspruchsbeweises. Transitivität von Implikation und Äquivalenz. Definition des Beweises. Definition der Menge nach Cantor, Elemente von Mengen, Gleichheit von Mengen, leere Menge. Definition von Teilmenge (Inklusion), Obermenge.24. Oktober
Durchschnitt, Vereinigung, Differenz von Mengen, Komplement. Disjunktheit und disjunkte Vereinigung. Potenzmenge. Menge der natürlichen Zahlen. Regeln: Kommutativität und Assoziativität von Durchschnitt und Vereinigung, Distributivgesetze, Gesetze von De Morgan. Universeller und existentieller Quantor. Universelle und existentielle Aussagen, Prädikate, eindeutige Existenz, Negation von universellen und existentiellen Aussagen (verallgemeinerte De Morgansche Gesetze). Gleiche benachbarte Quantoren darf man vertauschen, jedoch verschiedene benachbarte Quantoren im Allgemeinen nicht. Der "Quantor" der eindeutigen Existenz vertauscht im Allgemeinen weder mit dem Existenzquantor noch mit sich selbst.26. Oktober
Beweisstrategien: Zum Beweis einer universellen Aussage reichen Beispiele NICHT, aber zum Beweis einer existentiellen Aussage reicht EIN Beispiel, zum Beweis, dass eine universelle Aussage falsch ist, reicht EIN Gegenbeispiel. Vereinigung und Durchschnitt beliebig vieler Mengen und Regeln dazu. Definition des geordneten Paares, des kartesischen Produktes, der Funktion (insbesondere: Definitionsbereich, Wertebereich, Zuordnungsvorschrift, Bild, Urbild, Graph). Definition von injektiv, surjektiv, bijektiv. Beispiele für Funktionen, Bild, Urbild, injektiv, surjektiv, bijektiv. Definition von Identität, konstanter Abbildung, Inklusion/Einbettung, Einschränkung, Fortsetzung. Regeln für Bild und Urbild. Komposition/Hintereinanderausführung.31. Oktober
Assoziativgesetz für Kompositionen, Urbildbildung für Kompositionen. Rechtsinverse, linksinverse, inverse Abbildung (Umkehrabbildung). Satz: Rechtsinvertierbar ist äquivalent zu surjektiv, linksinvertierbar ist äquivalent zu injektiv, invertierbar ist äquivalent zu bijektiv. Im bijektiven Fall sind die rechts- und linksinverse Abbildung eindeutig und gleich der inversen Abbildung. Kompositionen injektiver Abbildungen sind injektiv, Kompositionen surjektiver Abbildungen sind surjektiv, Kompositionen bijektiver Abbildungen sind bijektiv und es gilt, dass die Umkehrabbildung der Komposition g nach f die selbe Abbildung ist wie die Umkehrabbildung von f nach der Umkehrabbildung von g. Definition der Familie. Definition der Folge. Definition des kartesischen Produktes einer Familie von Mengen (speziell: Menge der geordneten n-Tupel (n=3: Tripel)). Definition der charakteristischen Funktion einer Menge. Satz: Jedem Element der Potenzmenge wird bijektiv seine charakteristische Funktion zugeordnet (und dies rechtfertigt die Notation 2^A für die Potenzmenge von A). Definition von Relationen als Teilmengen des kartesichen Produktes AxB. Beispiele: Gleichheitsrelation, die Relation Kleinergleich, Funktionen als Relationen, Relationen als Funktionen in die Potenzmenge von B. Eigenschaften von Relationen: reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv.2. November
Definition von Partialordnung, totaler Ordnung und strenger Ordnung. Definition von unterer Schranke, oberer Schranke, Minimum, Maximum, Infimum, Supremum. Minimum, Maximum, Infimum und Supremum sind alle eindeutig, sofern sie überhaupt existieren. Definition von (streng) isotonen/wachsenden/ordnungserhaltenden Funktionen, von (streng) antitonen/fallenden/ordnungsumkehrenden Funktionen sowie von (streng) monotonen Funktionen. Streng monotone Funktionen auf total geordneten Mengen sind injektiv. Ist f eine invertierbare und isotone (bzw. antitone) Funktion auf einer total geordneten Menge, so ist auch die Umkehrfunktion isoton (bzw. antiton). Beispiele für (streng) isotone und antitone Funktionen sowie eine nichtmonotone Funktion. Definition von Äquivalenzrelation, Äquivalenzklassen, Quotientenmenge sowie von Quotientenabbildung (kanonische Projektion).7. November
Satz: Zu jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge korrespondiert eine disjunkte Zerlegung der Menge (gegeben durch die Äquivalenzklassen) und umgekehrt gibt es zu jeder disjunkten Zerlegung eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen genau die Zerlegungsmengen sind. Satz: Die Quotientenabbildung ist immer surjektiv und bijektiv nur genau für die Gleichheitsrelation. Beispiele: Konstruktion der Menge der ganzen Zahlen als Quotientenmenge, Konstruktion der Menge der rationalen Zahlen als Quotientenmenge. Peanoaxiome. Prinzip der vollständigen Induktion: Beweis von Induktionsverankerung und Induktionsschritt beweist eine Aussage für alle natürlichen Zahlen. Endliche Induktion.9. November
Rekursive Definition. Rekursionssatz: Existenz- und Eindeutigkeit von rekursiv definierten Funktionen. Beispiele: Fakultätsfunktion, Summationssymbol, Produktsymbol. Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen. Definition von endlich, unendlich, abzählbar. Definition der Kardinalität endlicher Mengen. Satz: Die Gleichmächtigkeit bildet Äquivalenzrelation auf jeder Menge von Mengen. Satz: Es gibt genau dann eine injektive Abbildung von A nach B, wenn es eine surjektive Abbildung von B nach A gibt. Satz von Schröder-Bernstein und weitere Äquivalenzen zur Gleichmächtigkeit von A und B. Satz: Es gibt keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge. Satz: Die Kardinalität endlicher Mengen ist eindeutig.14. November
Eine Funktion zwischen zwei endlichen Mengen mit gleich vielen Elementen ist injektiv genau dann, wenn sie surjektiv ist, genau dann, wenn sie bijektiv ist. Teilmengen endlicher Mengen sind endlich. Ist B Teilmenge der endlichen Menge A, so ist #(A\B)=#A-#B. Sind A,B endlich, so ist die Zahl der Elemente in A vereinigt B die Summe der Elemente in A und B minus die Elemente im Schnitt von A und B. Die Kardinalität des kartesischen Produktes von endlich vielen endlichen Mengen ist das Produkt der Kardinalitäten der Mengen. Hat die endliche Menge A genau n Elemente, so hat die Potenzmenge von A genau 2 hoch n Elemente. Jede nichtleere und endliche Teilmenge einer total geordneten Menge besitzt ein Maximum und ein Minimum. Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum. Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen ist abzählbar. Eine nichtleere Menge ist genau dann abzählbar, wenn es eine injektive Abbildung von der Menge in die natürlichen Zahlen gibt und dies gilt genau dann, wenn es eine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen in die Menge gibt. Das kartesiche Produkt von endlich vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar.16. November
Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar. Definition der Begriffe Verknüpfung/Multiplikation, Addition und Magma. Definition der Eigenschaften kommutativ/abelsch und assoziativ für Verknüpfungen, sowie von linksneutralen, rechtsneutralen und neutralen Elementen. Neutrale Elemente sind eindeutig, werden multiplikativ mit 1 bezeichnet und additiv mit 0. Definition von Halbgruppe und Gruppe sowie von inversen Elementen. Satz in Gruppen: Rechtsneutral impliziert neutral; linksinvers gleich rechtsinvers, inverse Elemente sind eindeuig; das Inverse des Inversen ist das Ausgangselement; das Inverse von xy ist das Inverse von y mal das Inverse von x; Kürzungsregeln. Definition von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Potenzgesetze. Beispiele: Potenzmenge von M ist abelsche Halbgruppe bezüglich Durchschnitt und bezüglich Vereinigung, aber ist jeweils nur dann Gruppe, wenn M die leere Menge ist. Definition von Permutationen sowie der Permutationsgruppe/symmetrischen Gruppe einer Menge M (sie ist nur genau dann abelsch, wenn M höchstens 2 Elemente hat). Die natürlichen Zahlen sind kommutative Halbgruppen bezüglich Addition und Multiplikation, aber keine Gruppen; die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen sind jeweils kommutative Gruppen bezüglich Addition; die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen ohne Null sind jeweils kommutative Gruppen bezüglich Multiplikation. Jede Verknüpfung auf M liefert eine Verknüpfung auf der Potenzmenge von M, wobei sich Kommutativität, Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elementes übertragen, aber nicht die Existenz von Inversen. Definition von Rechts- und Linksnebenklassen.21. November
Beispiel: Jede Verknüpfung auf A liefert eine Verknüpfung auf den Funktionen von M nach A, indem man die Verknüpfung punktweise auf die Funktionen überträgt, wobei sich Kommutativität, Assoziativität und die Existenz von neutralen und inversen Elementen übertragen. Definition von Homomorphismen sowie von Mono-, Epi-, Iso-, Endo-, und Automorphismen. Definition von isomorphen Magmas und von unitalen Homomorphismen. Satz: Hintereinanderausführung von (unitalen) Homomorphismen liefert (unitale) Homomorphismen; die Inverse eines Isomorphisus ist ein Isomorphisus; Epimorphismen übertragen Kommutativität, Assoziativität sowie die Existenz von neutralen und inversen Elementen (speziell ist das epimorphe Bild einer Gruppe eine Gruppe); Gruppenhomomorphismen sind unital und vertauschen mit der Bildung inverser Elemente. Beispiele für Homomorphismen. Verknüpfungstafeln. Satz zur Konstruktion einer Gruppe aus einer Halbgruppe via Quotientenmenge (Anwendung: Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen). Definition von Untergruppen. Satz: Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie bezüglich der Verknüpfung und der Bildung von inversen abgeschlossen ist (bei endlichen Teilmengen reicht bereits das erste Kriterium).23. November
Die ganze Gruppe und die Gruppe, die nur das neutrale Element enthät, sind immer Untergruppen. Additive Untergruppen der ganzen Zahlen. Beliebige Durchschnitte von Untergruppen bilden wieder eine Untergruppe, Vereinigungen von Untergruppen hingegen i.A. nicht. Satz von Cayley: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe. Definition von Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen. Satz: Kern und Bild eines Homomorphismus sind immer Untergruppen; ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist; alle nichtleeren Urbilder eines Elementes unter einem Homomorphismus sind Nebenklassen vom Kern. Satz: Die Linksnebenklassen (bzw. die Rechtsnebenklassen) einer Untergruppe bilden eine disjunkte Zerlegung der Gruppe. Definiton von Normalteiler. Definition der Quotienten-/Faktorgruppe nach einem Normalteiler als die Quotientenmenge nach der durch die Nebenklassenzerlegung gegebenen Äquivalenzrelation mit geeigneter Multiplikation. Satz: Die Quotientengruppe ist wohldefiniert und eine Gruppe. Definition des natürlichen Epimorphismus. Homomorphiesatz: Die Quotientengruppe von G nach dem Kern eines Homomorphismus ist isomorph zum Bild des Homomorphismus, welcher sich zerlegen lässt in den zugehörigen natürlichen Epimorphismus und einen geeigneten Monomorphismus. Definition der Kongruenz-/Restklassengruppen bei den ganzen Zahlen; Definition von k ist kongruent l modulo n für ganze Zahlen k,l,n.28. November
Additive Restklassengruppen ganzer Zahlen als Beispiel für Quotientengruppen, Beispiel zum Homomorphiesatz. Definition von Ring, kommutativer Ring, Ring mit Eins, Körper. Definition von Brüchen in Körpern. Rechengesetze in Ringen. Definition von Nullteilern. Satz: Ein Körper ist nullteilerfrei. Bruchregeln in Körpern. Beispiel: Mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden die ganzen Zahlen einen nullteilerfreien Ring mit Eins, aber keinen Körper. Definition der Begriffe Unterring, Unterkörper und Ringhomomorphismus. Kriterien für Unterringe und Unterkörper. Beispiel: Trivialer Ring.30. November
nZ ist Unterring von Z (ohne Eins für n größer 1). Kern und Bild eines Ringhomomorphismus liefern Unterringe. Beliebige Durchschnitte von Unterringen (mit Eins) bilden wieder einen Unterring (mit Eins); beliebige Durchschnitte von Unterkörpern bilden wieder einen Unterkörper. Vereinigungen von Unterringen bzw. von Unterkörpern hingegen i.A. nicht. Satz: Epimorphismen übertragen Distributivität (speziell ist das epimorphe Bild eines Ringes (mit Eins) ein Ring (mit Eins) und das epimorphe Bild eines Körpers ein Körper). Beispiel: Restklassenringe Z/nZ bei den ganzen Zahlen; diese sind genau dann Körper, wenn p eine Primzahl ist. Beispiel: Mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden die rationalen Zahlen einen Körper. Auch die reellen und die komplexen Zahlen bilden mit der üblichen Addition und Multiplikation jeweils einen Körper. Gruppe der invertierbaren Elemente eines Ringes mit Eins (diese ist i.A. kein Unterring). Beispiel: Ist R ein Ring (mit Eins), so ist auch die Menge der Funktionen von M nach A mit den punktweise definierten Verknüpfungen ein Ring (mit Eins), der aber immer Nullteiler hat, sofern R und M jeweils mindestens 2 Elemente haben.5. Dezember
Beispiel: Endomorphismenring einer abelschen Gruppe. Definition der Charakteristik eines Körpers. Satz: Die Charakteristik eines Körpers ist Null oder eine Primzahl. Definition eines K-Vektorraumes für einen Körper K (speziell der Begriffe Vektor, Skalar, Vektoraddition, Skalarmultiplikation). Beispiele für Vektorräume: Ist K ein Körper und L ein Unterkörper, so ist K ein L-Vektorraum; die Menge der Funktionen aus einer Menge A in einen K-Vektorraum Y ist mit der punktweisen Vektoraddition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum; K^n ist ein K-Vektorraum. Rechengesetze im Vektorraum. Definition des Untervektorraumes. Satz: Eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraumes ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Der triviale Vektorraum ist Untervektorraum von jedem Vektorraum. Funktionenräume der eindimensionalen Analysis als Beispiele für Untervektorräume. Satz: Beliebige Durchschnitte von Untervektorräumen eines Vektorraumes bilden wieder einen Untervektorraum; die Vereinigung zweier Untervektorräume ist genau dann ein Untervektorraum, wenn der eine Raum im anderen enthalten ist.7. Dezember
Definition von Linearkombination, Erzeugnis, Erzeugendensystem. Satz: Das Erzeugnis von A ist der kleinste Untervektorraum, der A enthät und ist genau die Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus A. Definition der Summe einer Familie von Untervektorräumen. Satz: Die Summe einer Familie von Untervektorräumen ist genau das Erzeugnis der Vereinigung der Familie (und damit speziell ein Untervektorraum). Definition linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit (eines Vektors von einer Menge, einer Menge und einer Familie in einem Vektorraum). Beispiele: Die leere Menge ist linear unabhängig; nur der Nullvektor ist von der leeren Menge linear abhängig; ist der Nullvektor Element einer Menge, so ist diese linear abhängig. Definition des Kronecker-Delta. Die Menge der Funktionen in einen Körper, die an einer Stelle 1 und sonst 0 sind, ist linear unabhängig. Eine linear unabhängige Menge von Exponentialfunktionen. Satz: Eine Menge ist linear abhängig genau dann, wenn sie einen Vektor enthält, der von den restlichen Vektoren der Menge linear abhängig ist. Satz: Lineare Abhängigkeit vererbt sich auf Obermengen, lineare Unabhängigkeit vererbt sich auf Teilmengen.12. Dezember
Satz: Für Teilmengen einer linear unabhängigen Menge ist der Durschnitt der Erzeugnisse das Erzeugnis des Schnittes. Definition der Basis eines Vektorraumes sowie der Standardbasis des Vektorraumes aller Funktionen von einer Menge I in einen Körper, die nur an endlichen vielen Stellen einen von Null verschiedenen Wert annehmen. Weitere Beispiele von Basen. Satz: Eine Teilmenge eines Vektorraumes ist genau dann eine Basis, wenn sie eine maximale linear unabhängige Teilmenge ist und auch genau dann, wenn sie ein minimales Erzeugendensystem ist. Satz: Ein Vektor hat bezüglich einer Basis eindeutige Koordinaten. Definition der Begriffe maximales Element sowie Kette in einer Menge mit einer Partialordnung.14. Dezember
Formulierung des Zornschen Lemmas. Basissatz: Jede lineare unabhängige Teilmenge eines Vektorraumes lässt sich zu einer Basis des Vektorraumes ergänzen (insbesondere hat jeder Vektorraum eine Basis); je zwei Basen eines Vektorraumes sind gleichmächtig; ist U linear unabhängige Teilmenge und B eine Basis, so kann man U in B hineintauschen, d.h., es gibt eine Teilmenge C von B so, dass die disjunkte Vereinigung von U und C wieder eine Basis ist. Definition der Dimension eines Vektorraumes sowie von endlichdimensional und unendlichdimensional. Satz: Ist U ein Untervektorraum von V und BU eine Basis von U, so ist BU in einer Basis von V enthalten; die Dimension von U ist höchstens gleich der Dimension von V und, falls V endlichdimensional, für echte Unterräume echt kleiner; U hat ein direktes Komplement, das heißt, es gibt einen Unterraum W so, dass V=U+W und der Schnitt vom U und W ist der Nullraum.19. Dezember
Definition der direkten Summer zweier Untervektorräme. Satz zur Nichteindeutigkeit direkter Komplemente. Satz zu Basen von Unterrämen, Summen und direkten Summen (speziell ist die Summe der Dimensionen zweier Unterräme gleich die Summe der Dimensionen ihres Schnittes und ihrer Summe). Definition linearer Abbildungen (also von Vektorraumhomomorphismen), von Kern und Bild linearer Abbildungen sowie von Isomorphie von Vektorräumen. Satz: Die Komposition linearer Abbildungen ist linear; die Umkehrabbildung einer bijektiven linearer Abbildung ist linear; Kern und Bild linearer Abbildungen sind Untervektorräume; eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn ihr Kern der Nullraum ist. Satz: Das epimorphe Bild eines Vektorraumes ist wieder ein Vektorraum. Satz: Eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn sie lineare Unabhängigkeit erhält; sie ist surjektiv genau dann, wenn sie Erzeugendensysteme erhält und bijektiv genau dann, wenn sie Basen erhält.21. Dezember
Satz: Jede lineare Abbildung ist durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt. Definition der Projektion aus einem Vektorraum auf die Koordinate bezüglich eines Basisvektors - die Projektion ist linear. Definition der Projektion aus dem Vektorraum der Funktionen von I in einen Vektorraum Y auf die Koordinate i aus I - die Projektion entspricht gerade der Auswertung bei i und sie ist linear. Die komplexe Konjugation ist linear bezüglich der reellen Zahlen, aber nicht linear bezüglich der komplexen Zahlen. Die Abbildung, die jeder konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet, ist linear. Differenzieren ist linear. Integrieren ist linear. Satz: Die Einschränkung einer linearen Abbildung A von V nach W auf ein direktes Komplement ihres Kernes ist bijektiv; die Dimension von V ist die Summe der Dimension vom Kern von A und der Dimension vom Bild von A; die Dimension vom Bild von A ist höchstens so groß wie die Dimension von V und auch höchstens so groß wie die Dimension von W. Satz: Zwei Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie die selbe Dimension haben.Keine Lehrveranstaltungen vom 24. Dezember bis 6. Januar
9. Januar
Satz: Für eine lineare Abbildung A zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen sind äquivalent: (i) A ist Isomorphismus, (ii) A ist Epimorphismus, (iii) A ist Monomorphismus. Das Beispiel von Rechtsshift und Linksshift auf Folgenr&auuml;men zeigt, dass es zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen Epimorphismen geben kann, die keine Monomorphismen sind und umgekehrt. Definition des Quotienten-/Faktorraumes nach einem Untervektorraum. Satz: Der Quotientenvektorraum ist wohldefiniert und der natürliche Epimorphismus ist linear. Satz zum Zusammenhang von Basen von Unterräumen mit Basen von Quotientenräumen. Satz: Ist U Unterraum von V, so gilt dim V = dim U+dim(V/U). Definition linearer Relationen auf Vektorräumen. Satz: Die durch die Nebenklassenzerlegung zu einem Unterraum gegebene Äquivalenzrelation ist linear. Satz: Ist eine lineare Äquivalenzrelation gegeben, so definiert sie einen Unterraum so, dass sie genau die zugehörige Nebenklassenzerlegung liefert. Homomorphiesatz für Vektorräume sowie zwei weitere Isomorphiesätze für Vektorräume.11. Januar
Definition von Additon und Skalarmultiplikation auf Mengen linearer Abbildungen. Satz: Mit diesen Definitionen bilden die Mengen linearer Abbildungen Vektorräume. Angabe einer Standardbasis für Vektorräume linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen sowie die zugehörige Dimensionsformel; bei linearen Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen ist die entsprechende Menge immernoch linear unabhängig, aber i.A. keine Basis mehr. Distributivgesetze auf Räumen linearer Abbildungen. Satz: Der Raum der linearen Endomorphismen eines Vektorraumes bildet einen Ring mit Eins (der Ring ist i.A. nichtkommutativ und hat Nullteiler). Definition regulärer und singulärer linearer Endomorphismen, sowie der allgemeinen linearen Gruppe GL(V) eines Vektorraumes V. Satz: GL(V) ist eine (i.A. nichtabelsche) Gruppe. Definition von (mxn)-Matrizen, speziell von Zeilenvektoren, Spaltenvektoren und quadratischen Matrizen. Definition von Diagonalelementen sowie der Diagonale einer Matrix. Definition der Addition von Matrizen, der Multiplikation von Matrizen mit Skalaren sowie der Matrixmultiplikation. Die Menge der (mxn)-Matrizen mit Einträgen aus einem K-Vektorraum Y bildet selbst einen K-Vektorraum und ist isomorph zum K-Vektorraum Y^(mn).16. Januar
Definition von Spalten- und Zeilenvektoren einer Matrix. Matrizenmultiplikation lässt sich auch spaltenweise oder zeilenweise durchführen. Satz: Matrixmultiplikation ist assoziativ und distributiv, sofern alle Multiplikationen definiert sind; die Menge der quadratischen Matrizen über einem Ring (mit Eins) ist ein Ring (mit Eins). Definition von Nullmatrix und Einheitsmatrix. Definition der allgemeinen linearen Gruppe quadratischer Matrizen sowie von regulären und singulären Matrizen. Matrizenmultiplikation ist i.A. nicht kommutativ (nichteinmal für quadratische Matrizen über einem Körper). Satz: Stellt man lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen V und W mit gegebenen geordneten Basen bezüglich der zugehörigen Standardbasis solcher linearen Abbildungen dar, so bilden die Koeffizienten eine Matrix und die Zuordnung I zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bildet einen linearen Isomorphismus (welcher von den geordneten Basen von V und W abhängt); sind V und W sowie die geordneten Basen identisch, so ist I auch ein Ringisomorphismus und auf GL(V) ein Gruppenisomorphismus.18. Januar
Satz: Stellt bei gegebenen Basen die Matrix I(A) die lineare Abbildung A dar und I(B) die lineare Abbildung B, so stellt I(B)I(A) die lineare Abbildung BA dar. Satz zur Änderung von I(A) bei Basistransformationen. Definition des Rangs einer linearen Abbildung sowie von (Spalten- und Zeilen-) Rang einer Matrix. Satz: Der stellt die Matrix I(A) die lineare Abbildung A dar, so ist der Rang von I(A) der selbe wie der von A. Satz: Der Rang einer Matrix ändert sich bei Multiplikation mit regulären Matrizen nicht. Satz: Hat eine lineare Abbildung A den Rang r, so gibt es Basen so, dass die A darstellende Matrix genau r Einsen auf der Diagonalen hat und sonst nur Nulleinträge.23. Januar
Definition der Transponierten einer Matrix. Satz: Transponieren liefert eine bijektive Abbildung, die Inverse ist erneutes Transponieren. Satz: Die Transponierte von AB ist die Transponierte von B mal die Transponierte von A; über einem Körper ist das Transponieren ein linearer Isomorphismus. Satz: Bei einer Matrix ist der Spaltenrang gleich dem Zeilenrang. Definition von Diagonalmatrizen, von (strengen) oberen/rechten und unteren/linken Dreiecksmatrizen, von unipotenten Dreiecksmatrizen und von symmetrischen Matrizen. Satz: Linksmultiplikation von A mit Diagonalmatrix D multipliziert die Zeilen von A mit den Diagonalelementen von D; Rechtsmultiplikation von A mit Diagonalmatrix D multipliziert die Spalten von A mit den Diagonalelementen von D; die Diagonalmatrizen bilden einen Unterring und einen Untervektorraum der (nxn)-Matrizen; eine Diagonalmatrix ist invertierbar genau dann, wenn alle ihre Diagonalelemente invertierbar sind; die invertierbaren Diagonalmatrizen bilden eine Untergruppe der invertierbaren Matrizen. Satz: Beim Produkt gleichartiger Dreiecksmatrizen multiplizieren sich die Diagonalelemente; gleichartige Dreiecksmatrizen sowie strenge gleichartige Dreiecksmatrizen bilden Unterringe sowie Untervektorräume der (nxn)-Matrizen. Rekursive Formel zur Berechnung der Inversen einer invertierbaren Dreiecksmatrix. Satz: Eine Dreiecksmatrix ist invertierbar genau dann, wenn alle ihre Diagonalelemente invertierbar sind; gleichartige invertierbare Dreiecksmatrizen sowie gleichartige unipotente Matrizen bilden Untergruppen der invertierbaren Matrizen. Satz: Die symmetrischen Matrizen bilden einen Untervektorraum der (nxn)-Matrizen; die Inverse einer invertierbaren symmetrischen Matrix ist symmetrisch.25. Januar
Blockweise Matrixmultiplikation. Definition (homogener und inhomogener) linearer Gleichungssysteme (LGS) Ax=b sowie von deren Lösungsmenge und der erweiterten Matrix (A|b) von Ax=b. Für das lineare Gleichungssystem Lx=b mit linearer Abbildung L ist die Lösungsmenge das Urbild von b unter L (speziell ist die Lösungsmenge der homogenen Gleichung der Kern von L). Satz: Man erhät die Lösungsmenge von Lx=b indem man zu einer partikulären Lösung den Kern von L addiert. Satz: Für eine (mxn)-Matrix und zugehörige lineare Abbildung L sind äquivalent: (i) Die Lösungsmenge von Ax=b ist nicht leer, (ii) b ist im Bild von L, (iii) b ist im Erzeugnis der Spalten von A, (iv) rk(A)=rk(A|b). Auch sind äquivalent: (i) Die Lösungsmenge von Ax=b ist für jedes b nicht leer, (ii) L ist surjektiv, (iii) rk(A)=m. Auch sind äquivalent bei gegebenem b im Bild von L: (i) Lx=b hat genau eine Lösung, (ii) Lx=0 hat nur die triviale Lösung x=0, (iii) rk(A)=n. Für m=n sind weiterhin äquivalent: (i) Es gibt ein b so, dass Lx=b genau eine Lösung hat, (ii) Lx=b hat für jedes b eine Lösung, (iii) Lx=0 hat nur die triviale Lösung x=0, (iv) A und L sind invertierbar. Definition der (Zeilen-)Stufenform einer Matrix sowie der Begriffe Pivotelement, Pivotspalte, Pivotindex, freier Index, Pivotvariable und freie Variable.30. Januar
Satz: Bei einem LGS Ax=b mit (A|b) in Stufenform sind äquivalent: (i) Die Lösungsmenge ist nicht leer, (ii) rk(A)=rk(A|b), (iii) b ist in (A|b) keine Pivotspalte. Auch ist die Dimension des Lösungsraumes von Ax=0 genau die Anzahl der freien Variablen und der Rang von A ist die Anzahl der Pivotvariablen. Algorithmus der Rückwärtssubstitution zur Bestimmung der Lösungsmenge eines LGS mit (A|b) in Stufenform sowie zugehöriger Satz. Definition elementarer Zeilenumformungen (EZU): Zeilentausch, Zeilenmultiplikation, Zeilenaddition. Definition der Variablensubstitution bei einem LGS (es ist eine spezielle Zeilenaddition).1. Februar
Satz: Bei Anwendung elementarer Zeilenumformungen auf (A|b) ändert sich die Lösungsmenge des LGS Ax=b nicht. Satz: Anwendung elementarer Zeilenumformungen auf eine Matrix A ändert nicht den Rang von A. Definition des Gaußschen Eliminationsalgorithmus (GEA). Satz: Der GEA überführt eine Matrix in Stufenform, ohne ihren Rang zu ändern und ohne die Lösungsmenge zu ändern, wenn es sich bei der Matrix um die erweiterte Matrix eines LGS handelt. Formel für die Änderung der Zeilensummen bei Anwendung des GEA. Definition der LU-Zerlegung einer (mxn)-Matrix (ist LU-Zerlegung im strengen Sinn, wenn die Matrix (mxm) ist). Lösung von LGS Ax=b bei gegebener LU-Zerlegung von A. Beispiel einer Matrix, die keine LU-Zerlegung hat. Definition von Frobeniusmatrizen vom Index k. Formel für die Multiplikation einer (mxm)-Frobeniusmatrix mit einer (mxn)-Matrix. Frobeniusmatrix, die bei Linksmultiplikation einen Spalteneliminationsschritt mit Zeilenadditionen im GEA liefert.6. Februar
Satz: Die Inverse einer Frobeniusmatrix vom Index k ist wieder eine Frobeniusmatrix vom Index k, wo nur die Vorzeichen der nichttrivialen Einträge unterhalb der Diagonale wechseln. Satz zur Darstellung beliebiger unipotenter unterer Dreiecksmatrizen als Produkt geeigneter Frobeniusmatrizen. Satz: Die EZU Zeilenmultiplikation lässt sich durch Linksmultiplikation mit einer geeigneten Diagonalmatrix erreichen; die EZU Zeilenaddition mit Linksmultiplikation mit einer geeigneten Frobeniusmatrix bzw. mit deren Transponierter. Definition von Permutationsmatrizen. Satz: Die Zeilen einer Permutationsmatrix sind durch die inverse Permutation gegeben; eine (nxn)-Matrix ist genau dann Permutationsmatrix wenn sie in jeder Zeile und Spalte je genau eine 1 hat und sonst nur Nullen; Linksmultiplikation von A mit einer Permutationsmatrix permutiert die Zeilen von A, Rechtsmultiplikation die Spalten; die Inverse einer Permutationsmatrix ist die Transponierte. Satz: Die Abbildung, die einer Permutation die zugehörige Permutationsmatrix zuordnet, ist ein Gruppenisomorphismus und die Permutationsmatrizen bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Definition von Transpositionsmatrizen. Satz: Die EZU Zeilentausch lässt sich durch Linksmultiplikation mit einer geeigneten Permutationsmatrix erreichen. Satz zur LU-Zerlegung: Ist A eine (mxn)-Matrix und U die aus A mit dem GEA produzierte Matrix in Stufenform, so gibt es eine Permutationsmatrix P und eine unipotente untere Dreiecksmatrix so, dass PA=LU (U ist obere Dreiecksmatrix, wenn A quadratisch ist); ist A invertierbar und hat A eine LU-Zerlegung, so ist diese eindeutig. Im Allgemeinen gibt es mehrer Tripel (P,L,U) so, dass PA=LU. Lösung von LGS Ax=b bei gegebener LU-Zerlegung von PA. Formulierung eines Algorithmus (basierend auf dem GEA) zur Bestimmung von (P,L,U) mit PA=LU.7. Februar
Klausur.8. Februar
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Last update: Feb 6, 2019 Peter Philip.