Department Mathematik
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Maß- und Integrationstheorie mehrerer Variablen:
Themenübersicht der Vorlesungen

17. Oktober

Definition des idealen n-dimensionalen Volumen. Definition von Sigmaalgebra und Messraum. Lemma: Sigmaalgebren sind abgeschlossen unter abzählbaren (endlichen und unendlichen) Vereinigungen und Schnitten. Satz: Beliebige Schnitte von Sigmaalgebren sind wieder Sigmaalgebren. Definition der erzeugten Sigmaalgebra und des Erzeugers einer Sigmaalgebra. Definition von Borelsigmaalgebren und von Borelmengen. Wichtige Erzeuger der Borelsigmaalgebra auf R^n.

20. Oktober

Lemma zu Bedingungen, die garantieren, dass eine Teilmenge der Potenzmenge die Borelsigmaalgebra erzeugt. Definition von Maßen und Maßräumen, speziell von endlichen, sigmaendlichen und Wahrscheinlichkeitsmaßen. Arithmetik auf den erweiterten reellen Zahlen. Beispiele von Maßen: Nullmaß, Zählmaß, Diracmaße. Definition von Semiring, Ring, Algebra. Durchschnitte von Ringen sind Ringe, Durchschnitte von Algebren sind Algebren. Definition des erzeugten Ringes und der erzeugten Algebra. Satz: Das Produkt zweier Halbringe ist ein Halbring; speziell ist die Menge der halboffenen n-dimensionalen beschränkten Intervalle ein Halbring. Charakterisierung des von einem Halbring erzeugten Ring.

24. Oktober

Definition eines Inhalts auf einem Halbring, sowie von endlichen und sigmaendlichen Inhalten. Definition eines Prämaßes auf einem Halbring. Definition des Lebesgueschen Prämaßes auf dem Halbring der beschränkten halboffenen Intervalle im R^n. Satz: Ein Inhalt auf einem Halbring lässt sich zu genau einem Inhalt auf dem erzeugten Ring fortsetzen. Die Fortsetzung ist genau dann ein Prämaß, wenn der Ausgangsinhalt ein Prämaß ist. Eigenschaften von Inhalten: Monotonie, Subtraktivität, Subadditivität. Für Prämaße gilt zusätzlich die Sigmasubadditivität. Satz: Für einen Inhalt M auf einem Ring sind äquivalent: (i) M ist ein Prämaß, (ii) M ist stetig von oben. Sind M endlich, so sind (i),(ii) weiter äquivalent zu: (iii) M ist stetig von oben, (iv) M ist bei der leeren Menge stetig von oben.

27. Oktober

Definition von Hyperebenen und den zugehörigen abgeschlossenen Halbräumen. Satz: Das Lebesguesche Prämaß ist ein Inhalt auf dem Halbring der beschränkten halboffenen Intervalle im R^n. Definition der Regularität von innen eines endlichen Inhaltes, der auf einem Halbring auf einem topologischen Raum definiert ist. Satz: Die Fortsetzung eines von innen regulären Inhalts von einem Halbring auf den erzeugten Ring ist immernoch von innen regulär. Satz: Ein von innen regulärer Inhalt ist ein Prämaß.

31. Oktober

Satz: Das Lebesguesche Prämaß ist ein Prämaß auf dem Halbring der beschränkten halboffenen Intervalle im R^n. Definition von äußeren Maßen und der Messbarkeit bezüglich äußerer Maße. Satz: Die Menge der bezüglich eines äußeren Maßes messbaren Mengen ist eine Sigmaalgebra und die Einschränkung des äußeren Maßes auf diese Sigmaalgebra ist ein Maß. Konstruktion äußerer Maße aus geeigneten Funktionen auf Teilmengen der Potenzmenge. Fortsetzungssatz von Caratheodory.

3. November

Definition der Begriffe durchschnittsstabil, monotone Klasse und Dynkin-System. Durchschnitte von monotonen Klassen sind monotone Klassen, Durchschnitte von Dynkin-Systemen sind Dynkin-Systeme. Definition der erzeugten monotonen Klasse und des erzeugten Dynkin-Systems. Charakterisierung von Dynkin-Systemen und von Sigmaalgebren. Satz: Für durchschnittsstabile Erzeuger ist das erzeugte Dynkin-System gleich der erzeugten Sigmaalgebra. Satz: Zwei Maße, die auf einem Durchschnittsstabilen Erzeuger der Sigmaalgebra gleich sind und der ganze Raum sich als abzählbare Vereinigung von Mengen endlichen Maßes aus dem Erzeuger schreiben lässt, so sind die Maße gleich. Satz: Ein sigmaendliches Prämaß auf einem Halbring lässt sich zu genau einem Maß auf der erzeugten Sigmaalegra fortsetzen. Anwendung: Das Lebesguesche Prämaß auf dem Halbring der beschränkten halboffenen Intervalle lässt sich zu genau einem Maß auf den Borelmengen auf dem R^n fortsetzen. Dieses heißt das Lebesgue-Borelsche Maß und ist die Einschrünkung des Lebesgueschen Maßes, das man bekommt, wenn man das vom Lebesgueschen Prämaß erzeugte Lebesguesche äußere Maß auf die Sigmaalgebra der lebesguemessbaren Mengen einschränkt.

7. November

Definition des Begriffs der Nullmenge und des vollständigen Maßraums. Satz: Zu gegebenem Maßraum mit Maß M erhält man einen vollständigen Maßraum, wobei die neuen messbaren Mengen von der Form A vereinigt N sind, mit A ist M-messbar und N ist Teilmenge einer M-Nullmenge; dies liefert die kleinste vollständige Fortsetzung von M; man nennt sie die Vervollständigung von M. Ist M sigmaendlich, so ist die Vervollständigung von M gleich der Einschränkung des von M erzeugten äußeren Maßes auf die bezüglich des äußeren Maßes messbaren Mengen. Satz: Das Lebesguesche Maß auf R^n ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borelschen Maßes auf R^n und es ist die einzige Fortsetzung des Lebesgueschen Prämaßes auf den beschränkten halboffenen Intervallen zu einem Maß auf den lebesguemessbaren Mengen. Definition von Urbild und Spur (Einschränkung) eines Mengensystems. Satz: Urbild und Spur einer Sigmaalgebra sind wieder eine Sigmaalgebra. Satz: Das Bilden der erzeugten Sigmaalgebra vertauscht mit dem Bilden des Urbilds (speziell mit dem Bilden der Spur). Das Bilden borelscher Sigmaalgebren vertauscht mit dem Bilden der Relativtopologie. Die Einschränkung eines Maßes auf eine messbare Menge liefert wieder ein Maß. Satz: Das Lebesguesche Maß eines kompakten Intervalls ist das Produkt der Seitenlängen; das Lebesguesche Maß von abzählbaren Mengen ist Null.

10. November

Satz: Zu jeder lebesguemessbaren Teilmenge A des R^n und jeder positiven Zahl E gibt es eine größere offene Menge O und eine kleinere abgeschlossene Menge F so, dass das Maß von O-A und von A-F jeweils weniger als E ist; das Maß von A ist das Infimum der Maße größerer offener Mengen und das Supremum der Maße kleinerer abgeschlossener sowie kleinerer kompakter Mengen. Eine Menge im R^n ist genau dann lebesguemessbar, wenn sie zwischen offenen und abgeschlossenen Mengen beliebig kleinen Differenzmaßes liegt. Konstruktion der Cantormenge. Satz: Die Cantormenge ist kompakt, hat Lebesguemaß 0 und ist überabzählbar. Die Cantormenge besteht genau aus allen Zahlen in [0,1], die eine triadische Darstellung haben, in denen nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Satz: Die Menge der lebesguemessbaren Teilmengen von R^n ist gleichmächtig zur Potenzmenge der reellen Zahlen.

14. November

Definition messbarer (speziell: borelmessbarer) Abbildungen. Satz: Eine Funktion f:(X,A)->(Y,B) ist genau dann messbar, wenn die Urbilder eines Erzeugers von B alle in A liegen. Konstante Abbildungen sind immer messbar, stetige Abbildungen sind immer borelmessbar. Satz: Die Komposition messbarer Abbildungen ist messbar. Definition von Bildmaßen. Satz: Das Konstruieren von Bildmaßen vertauscht mit der Komposition messbarer Abbildungen. Satz zur Messbarkeit einer messbaren Abbildung bezüglich der Vervollständigungen. Satz: Das Bilden eines Bildmaßes vertauscht mit dem Bilden der Vervollständigungen der Maße. Definition von Translationen und translationsinvarianten Maßen auf dem R^n. Das Lebesguesche und das Borel-Lebesguesche Maß auf R^n sind translationsinvariant, und dies sind die einzigen translationsinvarianten Maße auf den jeweiligen Sigmaalgebren, die dem n-dimensionalen Einheitsintervall Maß 1 zuordnen; alle anderen translationsinvarianten Maße, die dem n-dimensionalen Einheitsintervall ein endliches Maß zuordnen sind Vielfache davon.

17. November

Satz: Das Bildmaß des Lebesgueschen und des Borel-Lebesguesche Maßes auf R^n unter bijektiven affinen Abbildungen ist das Ausgangsmaß multipliziert mit dem Inversen der Determinante der affinen Abbildung, speziell sind die Maße invariant unter euklidischen Isometrien. Satz: Bezüglich jeden translationsinvarianten Maßes, das das Borel-Lebesguesche Maß auf R^n fortsetzt gibt es nicht-messbare Mengen (speziell gibt es Mengen, die nicht lebesguemessbar sind). Messbare Teilmengen nichtmessbarer Mengen haben Maß Null. Es gibt kein ideales Volumen. Jede Menge positiven Lebesguemaßes enthält eine nichtmessbare Menge. Definition der Ordnungstopologie und der Borelmengen auf den erweiterten reellen Zahlen. Lemma zu Eigenschaften der Borelmengen auf den erweiterten reellen Zahlen.

21. November

Definition messbarer Abbildungen mit Werten in den erweiterten reellen Zahlen (bzw. mit Werten in den komplexen Zahlen bzw. mit Werten in R^n). Definition messbarer Abbildungen von den reellen Zahlen in die erweiterten reellen Zahlen. Äquivalenzsatz für die Messbarkeit von Abbildungen mit Werten in den erweiterten reellen Zahlen. Definition von Infimum, Supremum, Limsup, Liminf und Limes von Folgen von Funktionen mit Werten in den erweiterten reellen Zahlen sowie Definition von aufsteigendem und absteigendem Limes sowie gleichmäßiger Konvergenz solcher Funktionen. Infimum, Supremum, Limsup, Liminf und Limes messbarer Funktionen sind messbar. Funktionen in die komplexen Zahlen bzw. den R^n sind messbar genau dann, wenn alle Koordinatenfunktionen messbar sind. Funktionen sind messbar genau dann, wenn Positiv- und Negativteil messbar sind. Summen, skalare Vielfache, Produkte, Betrag und Qutienten (falls definiert) messbarer Funktionen sind messbar. Definition von einfachen Funktionen (Treppenfunktionen). Satz: Einfache Funktionen bilden einen Vektorraum; Produkte, Quotienten (falls definiert), Maxima, Minima und Betrag einfacher Funktionen sind einfach; die einfachen Funktionen sind genau die Linearkombinationen von charakteristischen Funktionen messbarer Mengen.

24. November

Satz: Nach unten beschränkte messbare Funktionen f lassen sich von unten punktweise monoton durch einfache Funktionen approximieren, wobei sich die einfachen Funktionen nach unten (und ggf. nach oben) durch die selbe Konstante beschränken lassen wie f, ist f beschränkt, so ist die Konvergenz zudem gleichmäßig. Jede messbare Funktion f lässt sich punktweise durch einfache Funktionen approximieren (ist f beschränkt, so ist die Konvergenz zudem gleichmäßig). Definition der Produktsigmaalgebra auf kartesischen Produkten von Messräumen. Spezielle Erzeuger der Produktsigmaalgebra. Beispiel: Die Borelsigmaalgebra auf R^(p+q) ist die durch die Borelsigmaalgebren auf R^p und R^q gegebene Produktsigmaalgebra. Satz: Die Projektionen sind bezüglich der Produktsigmaalgebra messbar und die Produktsigmaalgebra ist die kleinste Sigmaalgebra mit dieser Eigenschaft. Eine Abbildung in ein kartesisches Produkt ist genau dann messbar, wenn all ihre Koordinatenfunktionen messbar sind.

28. November

Satz: Die von Borelmengen erzeugte Produktsigmaalgebra ist enthalten in der von der zugehörigen Produkttopologie erzeugten Borelsigmaalgebra; die umgekehrte Inklusion gilt auch, falls man das Produkt von abzählbar vielen topologischen Räumen mit abzählbarer Basis betrachtet; speziell ist die Produktsigmaalgebra der Borelmengen auf X Teilmenge R^p und der Borelmengen auf Y Teilmenge R^q gleich den Borelmengen auf X x Y. Definition des Lebesgue-Integrals für nichtnegative einfache Funktionen. Satz: Das Integral ist wohldefiniert, vertauscht mit nichtnegativen Linearkombinationen, und ist monoton. Für die charakteristische Funktion einer messbaren Menge A liefert es das Maß von A. Definition des Lebesgue-Integrals für nichtnegative messbare Funktionen. Satz: Das Integral ist wohldefiniert, vertauscht mit nichtnegativen Linearkombinationen, und ist monoton. Es ist null genau dann, wenn der Integrand nur auf einer Nullmenge positiv ist. Das Integral über f ist gleich dem Supremum der Integrale nichtnegativer einfacher Funktionen, die von f dominiert werden. Satz von der monotonen Konvergenz.

1. Dezember

Satz zur Vertauschbarkeit von unendlichen Summen und Integralen. Beispiel: Im Allgemeinen darf man den punktweisen Limes nicht mit dem Integral vertauschen. Definition integrierbarer Funktionen und des Lebesgue-Integrals für integrierbare Funktionen. Integrale über messbare Teilmengen. Reellwertige Funktionen sind genau dann integrierbar, wenn Positivteil und Negativteil beide integrierbar sind. Komplexwertige Funktionen sind genau dann integrierbar, wenn Realteil und Imaginärteil beide integrierbar sind. Satz: Das Integral über eine messbare Teilmenge ist gleich dem Integral der auf die Teilmenge eingeschränkten Funktion bezüglich des eingeschränkten Maßes. Äquivalenzsatz zur Integrierbarkeit. Satz: Der Betrag einer integrierbaren Funktion kann nur auf einer Nullmenge unendlich sein; das Integral ist linear; das Integral über eine disjunkte Vereinigung ist gleich der Summe der Integrale über die vereinigten Mengen; das Integral ist isoton. Dreiecksungleichung für das Lebesgue-Integral. Mittelwertsatz für das Lebesgue-Integral. Minima und Maxima integrierbarer Funktionen sind integrierbar.

5. Dezember

Definition von der Aussage 'eine Eigenschaft besteht fast überall'. Satz für messbare Funktonen f und g: Ist f fast überall kleiner oder gleich g, so ist das Integral über f kleiner oder gleich dem Integral über g; ist f überall gleich g, so sind die Integrale über f und g gleich; wird f fast überall von einer integrierbaren Funktion g dominiert, so ist auch f integrierbar; ist für jede messbare Menge A das Integral von f über A kleiner oder gleich dem Integral von g über A, so ist f fast überall kleiner oder gleich g. Lemma von Fatou, Satz von der dominierten Konvergenz. Korollar: Eine unendliche Summe vertauscht mit dem Integral, wenn die Partialsummen von einer integrierbaren Funktion dominiert werden. Satz zur stetigen Abhängigkeit eines parameterabhängigen Integrals von dem Parameter. Satz zur Differenzierbarkeit parameterabhängiger Integrale.

8. Dezember

Definition: Eine auf einer lebesguemessbaren Teilmenge von R^n definierte Funktion heißt lebesgueintegrierbar genau dann, wenn sie bezüglich des Lebesguemaßes auf R^n integrierbar ist. Satz: Eine auf einem kompakten Intervall definierte Funktion, die riemannintegrierbar ist, ist auch lebesgueintegrierbar und die Integralwerte stimmen dann überein. Eine auf einem kompakten Intervall definierte beschränkte Funktion ist riemannintegrierbar genau dann, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Lebesguenullmenge ist. Beispiele: Die Dirichletfunktion ist lebesgueintegrierbar, aber nicht riemannintegrierbar; eine riemannintegrierbare Funktion ist nicht notwendig borelmessbar.

12. Dezember

Satz: Uneigentlich riemannintegrierbare Funktionen sind lebesgueintegrierbar genau dann, wenn das uneigentliche Riemmannintegral absolut konvergiert. Definition und Eigenschaften der Gammafunktion (sie ist eine stetige Fortsetzung der Fakultätsfunktion, sie ist unendlich oft differenzierbar, der Wert des Gaußintegrals über die reellen Zahlen ist gleich Gamma(1/2) ist gleich der Wurzel aus Pi. Definition von Produktmaßen. Definition von Schnitten von Teilmengen kartesicher Produkte. Lemma: Bildung von Schnitten vertauscht mit Bildung mengentheoretischer Durchschnitte, Vereinigungen und Komplemente. Formel für den Schnitt eines kartesichen Produktes. Formel für den Schnitt eines Urbilds.

15. Dezember

Lemma: Schnitte messbarer Mengen sind messbar. Ist eine Funktion auf einem kartesichen Produkt definiert und messbar, so ist die Funktion immmernoch messbar, wenn man eine Komponente der Eingabe festhält. Satz: Es gibt immer mindestens ein Produktmaß Definition eines Produktmaßes durch Integration mit Hilfe eines sigmaendlichen Maßes; sind alle Komponentenmaße sigmaendlich, so ist das Produktmaß eindeutig bestimmt und selbst sigmaendlich (speziell ist es dann durch die Integraldarstellung gegeben). Warnung: Die Integraldarstellung des Produktmaßes existiert im Allgemeinen nicht, wenn die Komponentenmaße nicht sigmaendlich sind. Beispiel, wo es verschiedene Produktmaße gibt. Beispiel: Das Lebesgue-Borelsche Maß auf R^(p+q) ist das Produktmaß der Lebesgue-Borelschen Maße auf R^p und R^q. Warnung: Das (vollständige) Lebesguesche Maß auf R^(p+q) ist eine ECHTE Fortsetzung des (unvollständigen) Produktmaßes der Lebesgueschen Maße auf R^p und R^q.

19. Dezember

Formel für das n-dimensionale Volumen von n-dimensionalen euklidischen Kugeln. Definition des Integrals für Funktionen, die nur bis auf eine Nullmenge definiert sind. Satz von Tonelli (für nichtnegative messbare Funktionen f) und des Satzes von Fubini (für integrierbare Funktionen f), wobei zwei Varianten der Sätze bewiesen werden, einmal ist f nichtnegativ messbar bzw. integrierbar bezüglich des Produktmaßes sigmaendlicher Maße und einmal ist f nichtnegativ messbar bzw. integrierbar bezüglich der Vervollständigung des Produktmaßes vollständiger sigmaendlicher Maße.

22. Dezember

Beispiele zu Tonelli und Fubini. Definition von N_p(f) für messbare f, speziell des essentiellen Supremums für p=Unendlich (für p>=1 sind die N_p die p-Halbnormen, wenn sie endlich sind). Hölderungleichung. Minkowskiungleichung. Dreiecksungleichung für N_p^p für p<1. Definition der L^p-Funktionenräume als Menge der messbaren Funktionen f von X in die reellen oder komplexen Zahlen, für die N_p(f) endlich ist. Auf jedem der Räume wird mit Hilfe von N_p (bzw. mit Hilfe von N_p^p für p<1) eine Pseudometrik d_p definiert. Die L^p-Funktionenräume sind Vektorräme, die für p>=1 halbnormiert sind und für alle p>0 pseudometrisch sind.

Keine Lehrveranstaltungen vom 24. Dezember bis 6. Januar

9. Januar

Ist die Pseudometrik d_p keine Metrik, so ist die von d_p erzeugte Topologie nicht Hausdorff. Daher faktorisiert man die L^p-Funktionenräume nach dem Unterraum der Funktionen, die fast überall Null sind und erhält die L^p Äquivalenzklassenräume, die dann tatsächlich metrisch und für p>=1 normiert sind. Im Allgemeinen sind für p und q verschieden L^p und L^q nicht ineinander enthalten. Satz: Für endliche Maßräme und p kleiner q ist L^q in L^p enthalten. Allgemeiner ist für p kleiner q L^q genau dann in L^p enthalten, wenn das Supremum der Maße von Mengen mit endlichem Maß endlich ist; L^p ist genau dann in L^q enthalten, wenn das Infimum der Maße von Mengen mit positivem Maß positiv ist. Satz: Alle L^p-Räume sind vollständig. Satz: Konvergiert eine Folge in L^p gegen g, so hat sie eine Teilfolge die fast überall punktweise gegen g konvergiert; im Fall p=unendlich gilt das Resultat auch ohne Auswahl einer Teilfolge und die Folge kovergiert sogar fast überall gleichmäßig gegen g.

12. Januar

Beispiel einer Folge, die in L^p gegen Null konvergiert, aber nirgens punktweise. Satz zur Integration bezüglich eines Bildmaßes. Integraltransformationsformel für bijektive affine Variablentransformationen. Die folgenden Sätze gelten für 0 kleiner p kleiner unendlich. Satz: Der Vektorraum der einfachen Funktionen, die außerhalb einer Menge von endlichem Maß verschwinden, ist dicht in L^p, und der Raum liegt immernoch dicht, wenn man sich bei den erzeugenden charakteristischen Funktionen auf solche von Mengen eines erzeugenden Halbrings beschränkt. Satz: Gibt es einen abz¨hlbaren erzeugenden Halbring auf dem das Maß sigmaendlich ist, so ist L^p separabel; dies gilt immernoch bezüglich Vervollständigungen solcher Maßräme. Betrachtet man messbare Teilmengen von R^n mit Lebesgue oder Borel-Lebesguemaß, so ist L^p separabel. Definition des Trägers einer Funktion sowie von Rämen stetiger und differenzierbarer Funktionen mit kompaktem Träger. Definition des Verschwindens im Unendlichen einer Funktion. Satz: Auf einer offenen Teilmenge des R^n sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger dicht in L^p. Satz: Der L^p-Abstand zwischen einer Funktion aus L^p und ihrer Translation geht gegen Null, wenn die Größ der Translation gegen Null geht.

16. Januar

Definition der Faltung zweier L^1-Funktionen (das Ergebnis ist wieder eine L^1-Funktion). Satz: Die Faltung ist kommutativ, distributiv und assoziativ; der Träger von f*g ist enthalten in der Summe der Träger von f und g. Definition von Diracfolgen. Beispiele von Diracfolgen (unstetig, stetig und unendlich oft differenzierbar). Satz: Die Folge, die sich durch Faltung von f mit den Elementen einer Diracfolge ergibt, konvergiert in L^1 gegen f. Satz: Die Faltung f*g ist gleichmäßig stetig, wenn f oder g beschränkt ist; f*g ist C-unendlich, wenn g C-unendlich mit kompaktem Träger ist. Satz: Auf einer offenen Teilmenge des R^n sind die C-unendlich Funktionen mit kompaktem Träger dicht in L^p.

19. Januar

Der Raum L-unendlich verhält sich meist weniger gutartig als die anderen L^p: Bei Räumen mit unendlichem Maß ist Der Vektorraum der einfachen Funktionen, die außerhalb einer Menge von endlichem Maß verschwinden NICHT dicht in L-unendlich und L-unendlich bezüglich Lebesgue- oder Borel-Lebesgue-Maß auf Teilmengen von R^n, die positives Maß ist NICHT separabel. Auf offenen Teilmengen des R^n sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger NICHT dicht in L-unendlich. Definition von Fouriertransformation (FT) und inverser FT von L^1-Funktionen. FT und inverse FT sind linear. Riemann-Lebesgue-Lemma: Die FT einer L^1-Funktion ist stetig, beschränkt und verschwindet im Unendlichen. Rechenregeln für die FT. Ableitungsregel für Fouriertransformierte. Beispiel: FT einer charakteristischen Funktion eines Intervalls. Die FT einer L^1-Funktion braucht nicht integrierbar zu sein. Beispiel: Der Fouriersche Umkehrsatz gilt für die Elemente einer stetigen Diracfolge.

23. Januar

Umkehrsatz für die Fouriertransformation von L^1-Funktionen. Korollar: FT ist auf L^1 injektiv. Satz von Plancherel: Für Funktionen, die in L^1 und L^2 sind, erhält die FT die 2-Norm und das zugehörige Skalarprodukt. Anwendung: Berechnung bestimmter Integrale. Satz zur Definition eines neuen Maß aus einem gegebenen Maß und einer messbaren Funktion; die Funktion heißt dann Dichte des neuen Maßes bezüglich des alten. Definition des C^1-Diffeomorphismus zwischen zwei n-dimensionalen offenen Mengen. Beobachtung: Eine bijektive differenzierbare Funktion ist C^1-Diffeomorphismus zwischen zwei n-dimensionalen offenen Mengen genau dann, wenn die Determinante der Ableitungsmatrix keine Nullstellen hat.

26. Januar

Formulierung und Beweis des Transformationssatzes.

30. Januar

Polarkoordinaten als Beispiel für eine Anwendung des Transformationssatzes. Definition von k-dimensionalen Untermannigkaltigkeiten des R^n als Mengen, die sich lokal als Urbild der Null einer stetig differenzierbaren Abbildung vollen Ranges von einer offenen Menge des R^n in den R^(n-k) darstellen lassen. Beispiele: Affine Räme und euklidische Sphären. Definition von C^alpha-Diffeomorphismen, von C^alpha-Immersionen und von durch Permutationen gegebenen linearen Isomorphismen. Äquivalenzsatz für Untermannigkaltigkeiten: Untermannigkaltigkeiten sind lokal als Graph stetig differenzierbarer Abbildungen darstellbar bzw. lassen sich lokal diffeomorph auf k-dimensionale Ebenen abbilden bzw. lassen sich lokal als hom&ooml;omorphe Bilder von Immersionen aus einem R^k darstellen.

2. Februar

Satz zum Kartenwechsel: Überlappen sich zwei Karten, so gibt es einen Diffeomorphismus (den Kartenwechsel), der die eine Karte in die andere überführt. Satz: Jede Untermannigkaltigkeit ist die Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen, speziell ist sie eine Borelmenge. Definition von gramscher Matrix und gramscher Determinante einer lokalen Karte. Satz: Gramsche Matrizen von Karten sind symmetrisch positiv-definit, gramsche Determinanten sind somit positiv. Transformationsverhalten von gramschen Determinanten bei Kartenwechsel. Definition endlich überdeckbarer Untermannigkaltigkeiten. Definition einer (messbaren) einer endlichen Überdeckung durch lokale Karten untergeordneten Zerlegung der Eins. Definition messbarer und integrierbarer Funktionen auf einer endlich überdeckbaren Untermannigkaltigkeit sowie des zugehörigen Integralbegriffs. Definition von messbaren Teilmengen einer endlich überdeckbaren Untermannigkaltigkeit sowie des Maßes einer solchen Teilmenge. Beispiele: Homöomorphe Bilder offener eindimensionaler Intervalle unter stetig differenzierbaren Abbildungen mit nichtverschwindender Ableitung sind durch eine Karte überdeckbar; die gramsche Determinante ist das Quadrat der euklidischen Norm der Ableitung der Karte. Graphen von C^1-Funktionen sind Untermannigkaltigkeiten, die sich durch eine Karte überdecken lassen; Formel für deren gramsche Determinante. Jede kompakte Untermannigkaltigkeit ist endlich überdeckbar.

6. Februar

Satz: Zu jeder endlichen Überdeckung durch lokale Karten existiert eine messbare Zerlegung der Eins; die Messbarkeit auf einer Untermannigfaltigkeit und das Integral über eine Untermannigfaltigkeit hängen nicht von der Wahl der Karten bzw. der Zerlegung der Eins ab, sind also wohldefiniert; und definieren das Oberflächenmaß auf der Untermannigfaltigkeit. Das Integral ist dann gerade das Integral bezüglich dieses Maßes. Beispiele: Integrale über Kurven und durch Graphen gegebene Untermannigfaltigkeiten (spziell: obere Hemisphäre). Transformation von Integralen bei Multiplikation der Untermannigfaltigkeit mit positivem r. Coarea-Formel. Oberflächenmaß von Sphären. Definition von Tangential- und Normalenvektoren sowie von Tangentialraum und Normalraum. Definition und Eigenschaften des zu einem Untervektorraum senkrechten Vektorraums.

9. Februar

Satz: Jeder Tangentialraum ist ein k-dimensionaler Vektorraum, die Ableitungen einer lokalen Karte liefern eine Basis; jeder Normalraum ist ein (n-k)-dimensionaler Vektorraum, die Gradienten einer Funktion f liefern eine Basis; an jeder Stelle ist der Tangentialraum senkrecht zum Normalraum. Definition offener Mengen mit C1-Rand. Satz: Der Rand einer offenen Menge mit C1-Rand ist eine (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit, und an jeder Stelle des Randes existiert genau ein äßerer Normaleneinheitsvektor. Beispiel zur Berechnung des Normaleneinheitsvektors. Gaußscher Integralsatz mit Beispielen. Greensche Formeln.

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Last update: Feb 09, 2017 Peter Philip.