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\newenvironment{bew}{\begin{proof}[Beweis]}{\end{proof}}
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\makeindex

\begin{document}
\selectlanguage{german}

\begin{center}
{\Large\bf Analysis II}
\\[5mm]
{\bf Franz Merkl\footnote{Der Autor dankt Frau G.\ Bach,
Herrn S.\ Huy,
Herrn B.\ Menge und Frau L.\ Stein 
f\"ur die
Hilfe bei der technischen Herstellung des Skripts und Frau
Y. Bregman f\"ur die Hilfe beim Korrekturlesen.}
\\[5mm]
Universit\"at M\"unchen}\\[5mm]
sehr vorl\"aufige Version\footnote{{\bf Vorsicht, Baustelle.}
Das ist nur der Entwurf eines Anfangsst\"ucks eines Skripts.
Ohne jede Garantie. F\"ur Hinweise auf Fehler aller Art ist
der Autor dankbar.}
vom \today\\[5mm]
\end{center}
{\footnotesize
\copyright Franz Merkl, 2005. Dieses Skript und sein \LaTeX-Quelltext darf von den
H\"orern der Vorlesung M2A an der Universit\"at M\"unchen
vom Sommersemester 2005
f\"ur die Zwecke der Vorlesung frei kopiert und gedruckt werden.
Dieses Skript soll in
Zusammenarbeit mit vielen Studierenden
fertiggestellt werden. 
Freiwillige, die einige Seiten tippen wollen, werden gebeten,
sich bei Herrn Merkl zu melden.}\\[5mm]
\tableofcontents

\addtocounter{section}{-1}
\section{\"Uberblick}
Das Thema der Vorlesung Analysis II ist
die Differentialrechnung und Integralrechnung
mit mehreren Ver\"anderlichen.
Grob betrachtet ist die Vorlesung  Analysis II
parallel zur Analysis I aufgebaut:
\begin{itemize}
\item
Im ersten Kapitel ``Metrische R\"aume'' untersuchen wir
Topologie, Konvergenz und 
Stetigkeit \"uber h\"oherdimensionalen und abstrakten R\"aumen.
Als ein wichtiges Beispiel werden wir einen Existenz- und
Eindeutigkeitssatz f\"ur L\"osungen gew\"ohnlicher 
Differentialgleichungssysteme besprechen.
\item 
Im zweiten Kapitel geht es um die Differentialrechnung im $\R^n$,
also um Ableitungen von Funktionen mit mehreren Ver\"anderlichen.
\item
Das dritte Kapitel ``Ma\ss{} und Integral''
ist der Lebesgueschen Integrationstheorie \"uber me\ss{}baren R\"aumen
gewidmet.
Diese Theorie, die Anfang des 20.\ Jahrhunderts entstand,
hat unter anderem st\"arkere Konvergenzs\"atze als die Riemann-Theorie.
Sie ist z.B. grundlegend f\"ur die Funktionalanalysis und
die Wahrscheinlichkeitstheorie.
 \end{itemize}
Unterschiede zur Vorlesung Analysis I bestehen in der h\"oheren
(manchmal unendlichen) Dimension des Grundraums und im h\"oheren
Abstraktionsgrad.
\section{Metrische R\"aume}
\subsection{Definitionen und Beispiele}
In der Analysis einer Variablen spielte der Abstand $|x-y|$ zweier Zahlen $x,y \in \R$ eine wichtige Rolle, z.B. bei der Definition der Konvergenz, von Cauchyfolgen, der Stetigkeit etc. 
In h\"oherdimensionalen Situationen wird die Rolle des Abstands $|x-y|$ durch eine ``{\it Metrik}" \index{Metrik} \"ubernommen.\\
\\
\fbox{
\begin{minipage}{0.98\linewidth}
\begin{defn}
\label{def semimetrik}
 \rm Sei $M$ eine Menge. 
Eine Abbildung $d:M\times M \rightarrow \R$ hei{\ss}t {\it Semimetrik} \index{Semimetrik}
(Synonyme: {\it Pseudometrik},\index{Pseudometrik} {\it Halbmetrik})\index{Halbmetrik} auf $M$, wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item $\forall x,y \in M: \qquad d(x,y) \ge 0$ 
\item ``Symmetrie": $\forall x,y \in M : \qquad d(x,y) = d(y,x)$ 
\item``Dreiecksungleichung": $\forall x,y,z \in M: \qquad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
\item $\forall x \in M:Ê\qquad d(x,x) = 0$\\
\\
$(M,d)$ hei{\ss}t dann {\it semimetrischer Raum} \index{semimetrischer Raum}. Gilt zus\"atzlich:
\item $\forall x,y \in M: \qquad (d(x,y)=0 \Rightarrow x = y)$,\\
\\
so hei{\ss}t $d$ eine {\it Metrik}. \index{Metrik} $(M,d)$ hei\ss{}t dann ein {\it metrischer Raum}.\index{metrischer Raum}\index{Raum, metrischer}
\end{enumerate}
\end{defn}
\end{minipage}
}\\
\begin{center}
\psfrag{l1}{$x$}
\psfrag{l2}{$y$}
\psfrag{l3}{$z$}
\psfrag{l4}{$d(x,y)$}
\psfrag{l5}{$d(y,z)$}
\psfrag{l6}{$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$}
\includegraphics[width=10cm]{fig0}
\end{center}

\begin{bsp}\label{bsp1}{\rm
\begin{enumerate}
\item $d: \R \times \R \rightarrow \R, \quad d(x,y) = |x-y|$, ist eine Metrik auf $\R$. 

Ebenso ist $d: \C \times \C \rightarrow \R, \quad d(x,y)= |x-y|$, eine Metrik auf $\C$.
\item Wir definieren $ f: \R \cup \{\pm \infty\} \rightarrow[-1,1]$ ,
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{2}{\pi} \arctan x & \quad \textnormal{f\"ur} \quad  xÊ\in \R, \\
-1                              & \quad \textnormal{f\"ur} \quad x = -\infty\\
1                               & \quad \textnormal{f\"ur} \quad x = +\infty
\end{cases}
\]
Dann ist $\quad \tilde d : (\R \cup \{\pm \infty \} )^2 \rightarrow \R, \quad \tilde d(x,y) = |f(x) - f(y)|$, eine Metrik auf $\R \cup \{\pm \infty \} $.

\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, width=10cm]{fig1}
\end{center}
\item Es sei $ f: \C \cup \{\infty \} \rightarrow S^2 = \{(x,y,z) \in \R^3 | x^2+ y^2 +z^2 =1\}$,

\[ f(z) = \frac{1}{|z|^2+1}(2\re\:z, 2\im\:z, |z|^2-1)\quad \textnormal{f\"ur} \quad z \ne \infty , \]
\[f(\infty) = (0,0,1) \]
die stereographische Projektion.

 Dann ist \[
\tilde d : (\C \cup \{\infty\})^2 \rightarrow \R,\qquad\tilde d (z,w) = || f(z)-f(w)||\]
 
 eine Metrik auf $\C \cup \{\infty\}$. Hier bezeichnet $|| (x,y,z)|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ die euklidische L\"ange im $\R^3$.
\end{enumerate}
}
\end{bsp}

\fbox{
\begin{minipage}{0.98\linewidth}
\begin{defn}\rm Es sei $V$ ein $\R$ -Vektorraum und $\|{\cdot}\|:V\rightarrow\R$ eine Abbildung. $\|{\cdot}\|$
hei\ss t {\it Seminorm}\index{Seminorm} (synonym: {\it Halbnorm}\index{Halbnorm}), wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in V: \qquad \|x\|\geq 0$
\item ``{\it Homogenit\"at}": $\forall x \in V \;\forall \alpha \in \R : \qquad \|\alpha x\| = |\alpha|\ \|x\|$
\item ``{\it Dreiecksungleichung}"': $ \forall x,y \in V : \qquad \|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|$\\ \\
\rm Gilt zus\"atzlich:
\item ``{\it positive Definitheit}": $\forall x \in V \setminus \left\{0\right\}: \qquad \|x\| > 0$,\\
so hei\ss t $\|{\cdot}\|$ eine \it{Norm}\index{Norm} auf $V$ und $\left(V,\|{\cdot}\|\right)$ ein {\it normierter Raum}. \index{normierter Raum} \index{Raum, normierter}
\end{enumerate}
\end{defn}
\end{minipage}
}\\

\begin{lemma}
\rm Ist $\left(V,\|{\cdot}\|\right)$ ein normierter Raum, so wird durch $d(x,y)=\|x-y\|$ f\"ur $x,y \in V$ eine Metrik $d$ auf $V$ induziert. Ist $\|{\cdot}\|$ nur eine Seminorm, wird $d$ eine Semimetrik.
\end{lemma}

\begin{bew} Seien $x,y,z \in V$. Dann gilt:\\
$d(x,y) = \|x-y\| \geq 0$ wegen 1.,\\
$d(x,y) = \|x-y\| = \|(-1)(y-x)\| = |-1|\ \|y-x\|= d(x,y)$ wegen 2. \\
$d(x,z) = \|x-z\| = \|(x-y) + (y-z)\| \leq \|x-y\| + \|y-z\| = d(x,y) + d(y,z)$ wegen 3.\\
$d(x,x) = \|x-x\| = \|0\| = |0|\ \|0\| = 0$ wegen 2.\\
Ist $\|{\cdot}\|$ positiv definit, so gilt f\"ur $x \neq y:\\
x-y \neq 0$, also $d(x,y) = \|x-y\| > 0$ wegen 4.
\end{bew}

\begin{bsp}\begin{enumerate}\rm
\item Ist $(V,\sigma)$ ein euklidischer Vektorraum, d.h. $V$ ein $\R$-Vektorraum und $\sigma$ ein euklidisches Skalarprodukt auf $V$, so wird durch
 \[
 V \ni x \mapsto \|x\| := \sqrt{\sigma(x,x)}
 \]

eine Norm auf $V$ definiert, die vom Skalarprodukt $\sigma$ \it{induzierte Norm}\index{induzierte Norm}\rm. Die zugeh\"orige Metrik hei\ss t die von $\sigma$ \it{induzierte Metrik}\index{induzierte Metrik}\rm. Insbesondere hei\ss t die vom kanonischen Skalarprodukt auf $\R^n$,
\[
\sigma(x,y)=x^t y = \sum_{j=1}^{n}x_{j}y_{j}
\]
induzierte Norm bzw. Metrik \it{euklidische Norm}\index{euklidische Norm}\rm \  $\|{\cdot}\|_{2}$
\[
\|x\|_{2} = \left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\]

bzw. die \it{euklidische Metrik}\index{euklidische Metrik}\rm
\[
\R^{n} \times \R^{n} \ni (x,y) \mapsto \|x-y\|_{2}.
\]\\

Erinnern Sie sich aus der linearen Algebra, dass die Dreiecksungleichung
\[
\|x+y\|_2 \leq \|x\|_2 + \|y\|_2
\]

aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
\[
|\sigma(x,y)| \leq \|x\|_2 \|y\|_2
\]
folgt. 

\item Allgemeiner definieren wir f\"ur $p \geq 1$ die \it{p-Norm}\index{p-Norm}\rm \  $\|{\cdot}\|_{p}$ auf $\R^n$.\\ F\"ur $ x=(x_{1},...,x_{n}) \in \R^n$ setzen wir

\begin{center}

\fbox{$\|x\|_{p} := \left(\sum_{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$} 

\end{center}

Im Fall $p=2$ ist das die euklidische Norm auf $\R^n$.\\
Die Eigenschaften $\|x\|_{p} \geq 0$, $\|\alpha x\|_{p} = |\alpha|\ \|x\|_{p}$ und f\"ur 
$x \in \R^n \setminus  \left\{0 \right\} :\|x\| > 0$ sind offensichtlich.\\
F\"ur den Beweis der Dreiecksungleichung muss man h\"arter arbeiten.\\
Im Fall $p=1$ erh\"alt man:
\[
\|x+y\|_{1} = \sum_{j=1}^{n}|x_{j}+y_{j}| \leq \sum_{j=1}^{n}|x_{j}| + \sum_{j=1}^{n}|y_{j}| = \|x\|_{1} + \|y\|_{1}
\]
 
Im Fall $p>1$ brauchen wir eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Es bezeichne das $\sigma$ das kanonische Skalarprodukt auf $\R^n$.

\fbox{
\begin{minipage}{0.98\linewidth}
\begin{satz}(H\"oldersche Ungleichung)\\ 
\rm Sei $ p>1$, $q = \frac{p}{p-1} > 1$, also $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$.
Dann gilt f\"ur alle $x,y \in \R^n$:
\[\sigma(x,y) \le \|x\|_{p} \|y\|_{q}
\]
\end{satz}
\end{minipage}}  

Im Spezialfall $p=q=2$ ist das die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

\end{enumerate}
\end{bsp}


\begin{bew}
Wir zeigen f\"ur alle $a,b \in [0,+\infty[:$
\[
ab \leq \frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{q}b^{q}
\]
Dies ist offensichtlich f\"ur $a=0$ oder $b=0$. Wir d\"urfen also $a>0$  
und $b>0$ annehmen. Da die Exponentialfunktion konvex ist, 
folgt wegen $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1$:
\begin{align*}
ab &= e^{\frac{1}{p}\log(a^{p}) + \frac{1}{q}\log(b^{q})} 
\\&
\leq \frac{1}{p}e^{\log(a^{p})} + \frac{1}{q}e^{\log(b^{q})} 
\\&
= \frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{q}b^{q}.
\end{align*}
F\"ur $x=0$ oder $y=0$ ist die H\"oldersche 
Ungleichung offensichtlich, denn hier ist 
\[
|\sigma(x,y)| = 0 = \|x\|_{p}\|y\|_{q}.
\]
Wir d\"urfen also $\|x\|_{p}>0$ und $\|y\|_{q}>0$ annehmen. 
Wir setzen $\tilde{x} = \frac{1}{\|x\|_{p}}x$ und
$\tilde{y} = \frac{1}{\|y\|_{q}}y$. \\
Es folgt:
\begin{align*}
\frac{|\sigma(x,y)|}{\|x\|_{p}\|y\|_{q}} &= |\sigma(\tilde{x},\tilde{y})| 
\\&\leq \sum_{j=1}^{n}|\tilde{x_{j}}\|\tilde{y_{j}}|
\\&
\leq \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1}{p} |\tilde x_{j}|^{p}+
\frac{1}{q}|\tilde y_{j}|^{q}\right)
\\&
= \frac{1}{p}\|\tilde{x}\|^{p}_{p}+\frac{1}{q}\|\tilde{y}\|^{q}_{q} 
\\&
= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1
\end{align*} 
wegen $\|\tilde x\|_{p}=1=\|\tilde y\|_{q}$,
also die Behauptung.

\end{bew}

Nun zeigen wir die Dreiecksungleichung f\"ur die $p$-Norm, $p>1$:
\[
\boxed{\|x+y\|_{p} \leq \|x\|_{p} + \|y\|_{p}}  \qquad  x,y \in \R^{n}
\]
{\bf Beweis dazu:} Wir definieren $z=(z_{1},...,z_{n}) \in \R $ 
durch $z_{j} := |x_{j}+y_{j}|^{p-1}$.
Es folgt:

\begin{align}
\nonumber
\|x+y\|_{p}^{p} &= \sum_{j=1}^{n}|x_{j}+y_{j}|^{p}\\
\nonumber
&= \sum_{j=1}^{n}|x_{j}+y_{j}|z_{j}\\
\nonumber
&\leq \sum_{j=1}^{n}|x_{j}|z_{j} + \sum_{j=1}^{n}|y_{j}|z_{j}\\
\nonumber
&\leq \|x\|_{p}\|z\|_{q} + \|y\|_{p}\|z\|_{q} \qquad [\mbox{wegen H\"older}]\\
&=(\|x\|_{p} + \|y\|_{p})\|z\|_{q}
\label{x1}
\end{align}


Nun gilt:

\begin{align*}
\|z\|_{q}^{q} &=\sum_{j=1}^{n}|x_{j}+y_{j}|^{(p-1)q}\\
&=\sum_{j=1}^{n}|x_{j}+y_{j}|^{p} \qquad [\mbox{wegen $(p-1)q=p$}]\\
&=\|x+y\|_{p}^{p},
\end{align*}

also 
\[
\|z\|_{q}=\|x+y\|_{p}^{\frac{p}{q}}=\|x+y\|_{p}^{p-1},
\]
wieder wegen $(p-1)q=p$.\\
Durch Einsetzen in die Formel (\ref{x1}) erhalten wir 
\[
\|x+y\|_{p}^{p} \leq (\|x\|_{p} + \|y\|_{p})\|x+y\|_{p}^{p-1},
\] 
woraus die Behauptung in beiden F\"allen, $x+y=0$ und $x+y \neq 0$, folgt.
\EndProof

\paragraph{Weitere Beispiele f\"ur (Semi-)Normen:}

\begin{bsp}
{\rm F\"ur $x \in \R$ definieren wir die {\it Maximumnorm}\index{Maximumnorm}
\[
\|x\|_{\infty}:= \max_{j=1\ldots n}|x_{j}|.
\]
Die Notation wird durch 
\[
\|x\|_{\infty} = \lim_{p\rightarrow+\infty}\|x\|_{p}
\]
motiviert; Beweis siehe \"Ubungen.\\

F\"ur sie gilt der Grenzfall der H\"older-Ungleichung:
\[
\boxed{|\sigma(x,y)|\leq \|x\|_{1}\|x\|_{\infty}} 
\quad\mbox{ f\"ur $x,y \in \R^{n}$}.
\]
denn 
\[
|\sigma(x,y)|\leq \sum_{j=1}^{n}|x_{j}y_{j}| 
\leq  \sum_{j=1}^{n}|x_{j}|\cdot\max_{k=1\ldots n}|y_{k}|=
\|x\|_{1}\|y\|_{\infty} 
\]
}
\end{bsp}

\begin{bsp}[Funktionenr\"aume] \rm 
F\"ur $a<b$ setzen wir

\[
\mathcal{C}[a,b]=\left\{f:[a,b]\rightarrow\R\;|\;
\mbox{$f$ ist stetig}\right\}.\]
In Analogie zu den $p$-Normen auf $\R^{n}$ 
definieren wir $p$-Normen auf $\mathcal{C}[a,b]$:
\begin{align*}
\|f\|_{p}&=\left(\int_a^b|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}
\quad
\mbox{ f\"ur $1\leq p < + \infty$} 
\\
\|f\|_{\infty}&=\max{\left\{|f(x)| \ |a \leq x \leq b\right\}}. 
\end{align*}
F\"ur sie gilt auch die 
{\it H\"oldersche Ungleichung}\index{H\"oldersche Ungleichung}
\[
\boxed{\left|\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right| 
\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} \qquad 
\mbox{ f\"ur $f,g \in \mathcal{C}[a,b]$}
\]
und
\[
p>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\quad \mbox{oder} \quad p=1,q=\infty,
\]
sowie die Dreicksungleichung \\
\[\boxed{\|f+g\|_{p} \leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}\]
(\"Ubung).\\

Um $\|f\|_{p}>0$ f\"ur $f \neq 0$ zu zeigen, benutzen wir die Stetigkeit von $f$:\\
Ist $f \neq 0$, so gibt es $y \in [a,b]$ mit $f(y) \neq 0$, also $|f(y)|>0$. Dann gibt es ein Intervall $I=[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c<d$ und $y \in I$, so dass f\"ur alle $x \in I$ gilt: $|f(x)| \geq \frac{1}{2}|f(y)|$.
Es folgt:
\[
\|f(x)\|_{p}^{p}= \int_a^b|f(x)|^{p}\,dx \geq \int_c^d|f(x)|^{p}\,dx 
\geq \int_c^d\left(\frac{1}{2}|f(y)|\right)^{p}\,dx>0
\]

{\bf Bemerkung:} Die Stetigkeit von $f$ ist hier wesentlich: 
Nimmt man die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen 
$\mathcal{R}[a,b]$ statt $\mathcal{C}[a,b]$, so erh\"alt man nur Seminormen.\\
Zum Beispiel hat die Funktion 
\[
f:[-1,1] \rightarrow \R,\quad f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{f\"ur }x \neq 0\\
1 & \text{f\"ur }x=0
\end{cases} 
\]
die $p$-Norm 
\[
\|f\|_{p}=\left (\int_{-1}^{1}|f(x)|^{p}dx\right)^\frac{1}{p} = 0 \qquad 
\mbox{f\"ur alle $p$ mit $1\leq p < +\infty$.}
\]

\end{bsp}
\paragraph{Zusammenkleben von Punkten}
Wir beschreiben nun ein Verfahren, wie man aus Semimetriken (oder Seminormen) Metriken (oder Normen) gewinnen kann. Das Verfahren besteht im "`Zusammenkleben von Punkten mit Abstand 0''.

\begin{lemma} \rm 
Es sei $d$ eine Semimetrik auf einer Menge $M$. Dann ist die Relation $\sim$ auf $M$, definiert durch \\
\[
x \sim y \quad\Longleftrightarrow\quad d(x,y)=0,
\] 
eine \"Aquivalenzrelation.
Bezeichnet 
\[
[x]=\left\{y \in M\;|\;x \sim y\right\}
\]
 die \"Aquivalenzklasse von $x \in M$ und 
\[
M/{\sim}=\{[x]\;|\;x\in M\}
\] 
die Menge aller \"Aquivalenzklassen, so wird durch
\[
\tilde{d}:(M/{\sim}) \times (M/{\sim})\rightarrow \R ,
\qquad
\tilde{d}([x],[y])=d(x,y) 
\]
eine Abbildung wohldefiniert. 
$\tilde{d}$ ist eine Metrik auf $M/{\sim}$.

\end{lemma}

{\bf Beweis des Lemmas:} $\sim$ ist eine \"Aquivalenzrelation:

Es gilt: 
\begin{itemize}
\item
$x{\sim} x$ f\"ur $x\in M$ wegen $d(x,x)=0$.
\item
Aux $x\sim y$ folgt $y\sim x$ wegen $d(x,y)=d(y,x)$.
\item
$x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$ wegen 
$0\le d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$.
\end{itemize}

Nun zeigen wir, da{\ss} $\tilde{d}$ wohldefiniert ist:
Hierzu seien $x\sim x'$ und $y\sim y'$.
Dann gilt:
\[
d(x,y)\le \underbrace{d(x,x')}_{=0}+d(x',y')+\underbrace{d(y',y)}_{=0}
=d(x',y')
\]
und ebenso $d(x',y')\le d(x,y)$, also $d(x,y)=d(x',y')$. Damit h\"angt
$\tilde{d}([x],[y])$ nicht von der Wahl des Repr\"asentanten ab. Die
Eigenschaften 1.--4. in der Definition \ref{def semimetrik}
einer Semimetrik vererben
sich unmittelbar von $d$ auf $\tilde{d}$.\\

Es bleibt noch zu zeigen:
Aus $\tilde{d}([x],[y])=0$ folgt $[x]=[y]$.
Dies folgt wegen
\[
0=\tilde{d}([x],[y])=d(x,y)\quad\Longrightarrow\quad 
x\sim y\quad\Longrightarrow\quad [x]=[y].
\]

{\bf Bemerkung:} Ist $M$ sogar ein $\R$-Vektorraum und $d$ von einer
Seminorm $\|{\cdot}\|$ induziert, so ist $[0]=\{x\in
M\mid\| x\|=0\}$ ein Unterraum von $M$, und $M/{\sim}=
M/[0]$ ist der Quotientenraum von $M$ modulo $[0]$.
(Beweis: \"Ubung.)

\subsection{Topologie metrischer R\"aume}

\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}
 Es sei $(M,d)$ ein semi-metrischer Raum. F\"ur $x\in M$ und $\varepsilon>0$
definieren wir die $\varepsilon$-Umgebung \index{Umgebung, $\varepsilon$-}
von $x$:
\[
U_{\varepsilon}^d(x):=\{y\in M\mid d(x,y)<\varepsilon\}
\]
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Falls keine Mi{\ss}verst\"andnisse zu bef\"urchten sind, welche Metrik gemeint
ist, schreiben wir einfach $U_\varepsilon(x)$ statt $U_\varepsilon^d(x)$.
\\[5mm]
{\bf Illustration:} Die Umgebungen $U_1(0)\subset\R^2$ f\"ur
die Normen $\|{\cdot}\|_p$, $p=1,2,\infty$.

\psfrag{l1}{$0$}
\psfrag{l2}{$1$}
\psfrag{l3}{$2$}
\psfrag{l4}{$\infty$}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{fig2}
\end{center}

\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}{\rm 
  Es sei $(M,d)$ ein (semi-)metrischer Raum. Eine Menge $U\subseteq M$
  hei{\ss}t {\it offen},\index{offen} wenn gilt:
\[
\forall x\in U\;\exists\varepsilon>0\colon U^d_\varepsilon(x)\subseteq U.
\]
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Anders gesagt bedeutet das:
\[
\forall x\in U\;\exists\varepsilon>0\;\forall y\in M:(d(x,y)<\varepsilon
\Rightarrow y\in U)
\]
d.h. f\"ur jedes $x\in U$ geh\"ort auch noch eine gen\"ugend kleine
$\varepsilon$-Umgebung zu $U$. Wir bezeichnen die Menge aller offenen
Teilmengen von $M$ mit ${\cal T}_d$. Erinnern Sie sich an den Begriff der
{\it Topologie}:

\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}{
\rm  
  Sei $M$ eine Menge und ${\cal T}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.
  Die Menge ${\cal T}$ hei{\ss}t eine {\it Topologie} \index{Topologie} 
auf $M$, wenn gilt:

\begin{itemize}
\item[a)] $\emptyset\in{\cal T}$ und $M\in{\cal T}$,
\smallskip
\item[b)] Aus $A,B\in{\cal T}$ folgt $A\cap B\in{\cal T}$.
\smallskip
\item[c)] Ist $(A_i)_{i\in I}$ eine Familie 
von Elementen von ${\cal T}$, so gilt
$\bigcup_{i\in I} A_i\in{\cal T}$. 
\end{itemize}
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]

Das Paar $(M,{\cal T})$ hei{\ss}t dann {\it topologischer Raum}.
\index{topologischer Raum} \index{Raum, topologischer}
Die Elemente von
${\cal T}$ werden {\it offen} genannt.

\begin{lemma}
Ist $(M,d)$ ein semi-metrischer Raum, so ist ${\cal T}_d$ eine Topologie auf $M$.
\end{lemma}

${\cal T}_d$ hei{\ss}t die von der (Semi-)Metrik 
$d$ {\it induzierte Topologie}.
\index{Topologie, induzierte}\index{induzierte Topologie}
\\[5mm]

{\bf Beweis:} 
\begin{itemize}
\item[a)] $\emptyset\in{\cal T}_d$ und $M\in{\cal T}_d$ sind trivial.
\smallskip
\item[b)] Es seien $A,B\in{\cal T}_d$, d.h. $A$ und $B$ sind offen. Weiter 
sei
  $x\in A\cap B$. Dann gibt es $\varepsilon>0$ mit
  $U_\varepsilon(x)\subseteq A$ und $\delta>0$ mit
  $U_\delta(x)\subseteq B$. Nun gilt
\[
U_{\min\{\varepsilon,\delta\}}(x)\subseteq U_\varepsilon(x)\cap U_\delta(x)
\subseteq A\cap B,
\]
denn aus $d(x,y)<\min(\varepsilon,\delta)$, $y\in M$, folgt 
$d(x,y)<\varepsilon$ und $d(x,y)<\delta$. Also ist $A\cap B\in {\cal T}_d$.
\smallskip
\item[c)] Es sei $(A_i)_{i\in I}$ eine Familie in ${\cal T}_d$ und
  $x\in\bigcup_{i\in I} A_i$. Dann gibt es $j\in I$ mit $x\in A_j$. Wegen
  $A_j\in{\cal T}_d$ gibt es $\varepsilon>0$ mit $U_\varepsilon(x)\subseteq
A_j\subseteq\bigcup_{i\in I} A_i$. Also ist 
$\bigcup_{i\in I}A_i\in{\cal T}_d$.
\end{itemize}

\begin{defn}
{\rm
\begin{enumerate}
\item
  Es sei $(M,{\cal T})$ ein topologischer Raum. Eine Menge $U\subseteq M$
  hei{\ss}t {\it Umgebung}\index{Umgebung}
  eines Punktes $x\in M$, wenn es eine offene
  Menge $V\in{\cal T}$ gibt, so da{\ss} $x\in V\subseteq U$ gilt. Wir
  schreiben ${\cal U}(x)$ f\"ur die Menge aller Umgebungen von $x$. Ist 
  ${\cal T}={\cal T}_d$ f\"ur eine Metrik $d$, so bedeutet das: 
\[
\exists
  \varepsilon>0\colon U_\varepsilon(x)\subseteq U.
\]
  Wir werden
  n\"amlich unten sehen, da{\ss} $U_\varepsilon(x)$ offen ist.
\item
Eine Menge $U\subseteq M$ hei{\ss}t {\it abgeschlossen}, \index{abgeschlossen}
wenn
$M\setminus U$ offen ist. Ist die Topologie ${\cal T}$ von einer Metrik
$d$ induziert, so bedeutet das: 
\[
\forall x\in M\setminus U\;\exists\varepsilon>0\colon\;
U_\varepsilon^d(x)\cap U=\emptyset
\]
\item
Ein Punkt $x\in M$ hei{\ss}t {\it Ber\"uhrpunkt} \index{Ber\"uhrpunkt}
von $U\subseteq M$,
wenn jede Umgebung von $x$ die Menge $U$ trifft. Im Fall eines metrischen
Raums bedeutet das:
\[
\forall\varepsilon>0\colon U_\varepsilon^d(x)\cap U\ne\emptyset
\]
Die Menge aller Ber\"uhrpunkte von $U$ hei{\ss}t {\it Abschlu{\ss}} 
\index{Abschlu\ss{}} von
$U$ und wird mit $\overline{U}$ bezeichnet.
\item
$U\subseteq M$ hei{\ss}t {\it dicht},\index{dicht} wenn $\overline{U}=M$ gilt.
\item
Ein Punkt $x\in M$ hei{\ss}t {\it innerer Punkt} \index{innerer Punkt}
von $U\subseteq M$, wenn
$U$ eine Umgebung von $x$ ist. Im metrischen Fall bedeutet das:
\[
\exists\varepsilon>0\colon U_\varepsilon^d(x)\subseteq U
\]
Die Menge aller inneren Punkte von $U$ hei{\ss}t {\it Inneres}\index{Inneres}
von $U$
und wird mit $U^\circ$ bezeichnet.
\item
Ein Punkt $x\in M$ hei{\ss}t {\it Randpunkt} \index{Randpunkt}
von $U\subseteq M$, wenn
er Ber\"uhrungspunkt von $U$, aber kein innerer Punkt von $U$ ist. Die
Menge aller Randpunkte hei{\ss}t {\it Rand}\index{Rand} 
$\partial U$ von $U$. Es
gilt also $\partial U=\overline{U}\setminus U^\circ$.
\end{enumerate}
}
\end{defn}

\begin{lemma}

Sei $(M,d)$ ein (semi-)metrischer Raum, $x\in M$ und $\varepsilon>0$.
Dann ist $U_\varepsilon^d(x)$ offen.
\end{lemma}

{\bf Beweis:} Es sei $y\in U_\varepsilon^d(x)$, d.h.
$d(x,y)<\varepsilon$. Wir setzen 
\[
\delta:=\varepsilon-d(x,y)>0.
\] 
Dann
gilt f\"ur alle $z\in U_\delta^d(y)$:
\[
d(z,x)\le d(z,y)+d(y,x)<\delta+d(y,x)=\varepsilon,
\]
also $z\in U_\varepsilon^d(x)$. Also ist $U_\delta^d(y)\subseteq
U_\varepsilon^d(x)$, und daher $U_\varepsilon^d\in{\cal T}_d$.
\EndProof

{\bf Bemerkung:} Die im Beispiel \ref{bsp1}
eingef\"uhrten Metriken auf $\R$, $\C$, $\R\cup\{\pm\infty\}$  und
$\C\cup\{\infty\}$ induzieren die bereits aus der Analysis 1
bekannten Topologien auf diesen R\"aumen.

\begin{lemma} \rm Sei $(M,\Ts)$ ein top. Raum und $N \subseteq M$. Dann ist\\
\[\Ss:= \{ U \cap N \;|\;  U \in \Ts \}\] 
eine Topologie auf $N$. 
Der Raum  
$(N,\Ss)$ wird {\it topologischer Teilraum}\index{Teilraum, topologischer}
\index{topologischer Teilraum} von $(M,\Ts)$ genannt.
\end{lemma}
\begin{bew} Es gilt:
\begin{itemize}
\item
$\emptyset = \emptyset \cap N \in \Ss$ und  
$N= M \cap N \in \Ss$ wegen $\emptyset , M \in \mathcal{T}.$
\item
Aus  $A,B \in \Ss$ folgt $A \cap B \in \Ss$. Denn es gibt $U,V \in \Ss$ mit $U \cap N =A, V \cap N = B$, also
$A \cap B = (U \cap V) \cap N \in \Ss$ wegen $U \cap N \in\Ts$.
\item
Aus $A_i \in \mathcal{S}$ f\"ur alle $i \in I$ 
mit einer beliebigen Indexmenge $I$ folgt $\bigcup_{i \in I} A_i
\in \mathcal{S}$.
Um das zu zeigen, w\"ahlen wir zu jedem $i \in I$ 
ein $U_i \in \Ts$ mit $A_i = U_i \cap N$.
Dann gilt $\bigcup_{i\in I} U_i \in \Ts,$ also 
\[\bigcup_{i \in I} A_i= \left(\bigcup_{i \in I} U_i\right) \cap N \in \Ss.\]
\end{itemize}
\end{bew}

\begin{bem} \rm Wird $\Ts$ von einer (Semi-)Metrik $d$ induziert, so wird die 
Teil\-raum\-topo\-logie 
$\Ss$ von der Einschr\"ankung von $d$ auf $N\times N $ induziert.
(\"Ubung)
\end{bem}
\begin{defn} \rm Ein topologischer Raum $(M,\Ts)$ hei§t {\it Hausdorffraum}, \index{Hausdorffraum} wenn je zwei Punkte $x,y \in M$, $x \ne y$, 
disjunkte Umgebungen besitzen.
\end{defn}
\begin{center}
{\bf Illustration zur Hausdorffeigenschaft:}\\[5mm]
\psfrag{x}{$x$}
\psfrag{y}{$y$}
\includegraphics[width=10cm]{hausdorff}
\end{center}

\begin{lemma}\rm Ist $(M,d)$ ein metrischer Raum, so ist $(M,\Ts_d)$ 
ein Hausdorffraum.
\end{lemma}
\begin{bew} Es seien $x \ne y$ Punkte in $M$. Dann gilt
$\varepsilon := d(x,y) > 0$. Wir zeigen 
$U_{\frac{\varepsilon}{2}}^d (x) \cap U_{\frac{\varepsilon}{2}}^d (y) 
= \emptyset$:
Angenommen, es g\"abe
$z \in U_{\frac{\varepsilon}{2}}^d (x) \cap U_{\frac{\varepsilon}{2}}^d (y).$ 
Dann g\"alte
\[\varepsilon = d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,\]
ein Widerspruch.\\
\end{bew}
\begin{satz} \rm Die von den Metriken zu $\| \cdot \|_p,  \quad 1\le p \le +\infty,$ auf $\R^n$ induzierten Topologien stimmen alle \"uberein. Diese Topologie hei\ss t {\it Standardtopologie} \index{Standardtopologie} auf $\R^n$.
\label{aeq norm}
\end{satz}
Zum Beweis brauchen wir folgendes 
\begin{lemma}\label{lemmac}
\rm Seien $\| \cdot \|_A$ und $\| \cdot \|_B$ zwei (Semi-) Normen auf den gleichen $\R$-Vektorraum $V$. Es bezeichne $\Ts_A$ bzw. $\Ts_B$ die von $\| \cdot \|_A$ bzw. $\| \cdot \|_B$ induzierte Topologie. Es gelte
\[\existsÊ\; C>0\; \forall x \in V: \quad \|x\|_B \le \|x\|_A.\]
Dann gilt $\Ts_B \subseteq \Ts_A,$ d.h. jede $B$-offene Menge ist auch $A$-offen.
\end{lemma}
\begin{bew} Wir schreiben
  \[
U_\varepsilon^A(x)=\{ y \in V\;|\;\|x-y\|_A < \varepsilon \}
\quad\mbox{ und}\quad
U_\varepsilon^B(x)=\{ y \in V\;|\;\|x-y\|_B < \varepsilon \}
.\]
Es seien $U \in \Ts_B$ und $x \in U$. Wir m\"ussen zeigen:
\[
\exists \; \varepsilon > 0: U_\varepsilon^A (x) \subseteq U.
\]
Weil $U \in \Ts_B$, gibt es $\delta > 0$ mit $U_\varepsilon^B (x) \subseteq U.$
Setzen wir $\varepsilon:=C^{-1}\delta$, dann gilt f"ur alle 
$y \in U_\varepsilon^A(x)$:
\[
\|x-y\|_B\le C\|x-y\|_A < C\varepsilon = \delta,
\]
also $y \in U_\delta^B(x).$ Das bedeutet: 
\[U_\varepsilon^A(x) \subseteq U_\delta^B(x) \subseteq U.\]
\end{bew}
{\bf Beweis des Satzes \ref{aeq norm}:}
Es seien $1\le p<\infty$ und $x \in \R^n$.
 Dann gibt es $j \in \{1,\ldots,n\}$ mit $|x_j| = \|x\|_\infty$, 
d.h. $|x_j|$ ist das Gr\"o\ss{}te unter den $|x_1|,\ldots |x_n|$. Es folgt:
\begin{align*}
\|x\|_\infty &= |x_j| = (|x_j|^p)^{\frac{1}{p}} \le 
\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} = 
\\
&=\|x\|_p \le \left(\sum_{i= 1}^n |x_j|^p\right)^{\frac{1}{p}} 
= (n \|x\|_\infty^p)^{\frac{1}{p}} = n^{\frac{1}{p}} \|x\|_\infty.
\end{align*}
Das bedeutet: $\|x\|_\infty$ und $\|x\|_p$ k\"onnen durch positive 
Konstanten 1 bzw. $n^{\frac{1}{p}}$ wechselseitig abgesch\"atzt werden.
Aus dem Lemma \ref{lemmac} folgt: 
$\|x\|_\infty$ und $\|x\|_p$ induzieren die gleiche Topologie.
\EndProof

\begin{bem}\rm 
\begin{enumerate}
\item
Alle Normen auf $\R^n$ induzieren die Standardtopologie.
Wir beweisen das hier nicht.
\item
Die Normen $\| \cdot \|_p\;, 1 \le p\le + \infty$, auf $\mathcal{C}[a,b]$ 
induzieren alle {\it verschiedene} Topologien, im Gegensatz zum 
endlichdimensionalen Fall.
\end{enumerate}
\end{bem}

\subsection{Konvergenz und Stetigkeit}
Sei $(M,\Ts)$ ein topologischer Raum. Wir erinnern an die allgemeine 
Konvergenzdefinition aus der Analysis I:
 \\
 \\
 \fbox{
\begin{minipage}{0.98\linewidth}
\begin{defn}\rm Es sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine Folge in $M$ und $x \in M$.
Wir sagen $(a_n)_n$ konvergiert \index{konvergiert}
gegen $x$, 
in Zeichen 
\[a_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}x,\]
wenn jede Umgebung $U$ von $x$ h\"ochstens 
endlich viele Folgenglieder nicht enth\"alt. In Formeln:
\[ \forall \;U \in \mathcal{U}(x)\quad \exists \; m \in \N \quad
\forall\; n > m : \quad a_n \in U. \]
\end{defn}
\end{minipage}}\\
\\
Ist $(M,\Ts)$ ein Hausdorffraum, so ist der Grenzwert $x$ 
\index{Grenzwert} eindeutig bestimmt, 
falls er existiert, und wir schreiben dann $\lim_{n\to \infty} a_n =x$.
\\[3mm]
Ist $\Ts =\Ts_d$ f\"ur eine Metrik $d$, so gilt:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\[ \lim_{n \to \infty} a_n =x\]
\[\Longleftrightarrow\]
\[\forall \; \varepsilon > 0 \quad \exists \; m \in \N \quad\forall\; n > m :
\quad d(a_n,x) < \varepsilon \]
\end{minipage} }
\end{center}

\begin{bsp}\rm Konvergenz einer Folge $(f_n)_{n \in \N}$ von Funktionen in 
$\mathcal{C}[a,b]$ gegen ein $f \in \mathcal{C}[a,b]$ in der von
 $\| \cdot \|_\infty$ erzeugten Topologie ist das Gleiche wie 
gleichm\"a\ss ige Konvergenz. Es gilt n\"amlich:
\begin{align*}
&\quad f_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} f \quad 
\textnormal{in der } \; \| \cdot \|_\infty\ \textnormal{-Topologie}
\\ \Leftrightarrow &\quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists m \in \N 
\quad \forall\; n>m: \quad \|f_n-f\|_\infty<\varepsilon
\\ \Leftrightarrow & \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists m \in \N 
\quad \forall\; n>m \quad \forall\; x \in [a,b]: \quad |f_n-f| <\varepsilon
\\ \Leftrightarrow &\quad f_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 
f \quad \textnormal{gleichm\"a\ss ig.} \quad
\end{align*}
{\footnotesize Den Teil ``$\Leftarrow$'' in der zweiten 
\"Aquivalenz sieht man z.B.,
wenn man beachtet, da\ss{} die stetigen Funktionen $|f_n-f|$ Maxima
auf der kompakten Menge $[a,b]$ besitzen.}\\

Die $\| \cdot \|_\infty$-Topologie hei\ss t daher auch {\it Topologie der 
gleichm\"a\ss igen Konvergenz}. 
\index{Topologie der glm.\ Konvergenz}
\end{bsp}

\vspace{5mm}
\fbox{\huge\bf Hier fehlen noch einige Seiten.}
\\[5mm]

\subsection{Cauchyfolgen und Vollst\"andigkeit}
Cauchyfolgen werden analog wie in $\R$ definiert:

\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}  {\rm
Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ mit
Werten in $M$ hei{\ss}t {\it Cauchyfolge}, \index{Cauchyfolge} wenn gilt:
\[
\forall\varepsilon>0\;\exists m\in\N\;\forall k,l>m\colon\; d(a_k,a_l)
<\varepsilon.
\]
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Wie in einer Dimension sieht man: Konvergente Folgen sind Cauchyfolgen.
Die Umkehrung davon ist jedoch i.a.\ falsch, wie das Beispiel
$(\Q,|\cdot|)$ zeigt: Jede rationale, gegen eine irrationale Zahl 
konvergente Folge konvergiert in $(\Q,|\cdot|)$ nicht.
\\[3mm]
Metrische R\"aume, in denen jede Cauchfolge konvergiert, sind
besonders wichtig: 
\\[5mm]
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}  
{\rm
Ein metrischer Raum $(M,d)$ hei{\ss}t {\it vollst\"andig}, 
\index{vollst\"andig} wenn jede
Cauchyfolge in $M$ konvergiert.
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{satz}  
F\"ur alle $n\in\N^*$ und $1\le p\le\infty$ ist $\R^n$ mit der 
$\|{\cdot}\|_p$-Metrik vollst\"andig.
\end{satz}
\end{minipage}}
\\[5mm]
{\bf Beweis:}
Weil f\"ur alle $x\in\R^n$ gilt:
\[
\|x\|_\infty\le \|x\|_p\le n^{1/p}\|x\|_\infty,
\]
gen\"ugt es zu zeigen, da\ss{} $\R^n$ mit der $\|{\cdot}\|_\infty$-Metrik
vollst\"andig ist. Sei hierzu $(a_j)_{j\in\N}$ eine 
$\|{\cdot}\|_\infty$-Cauchyfolge.
Wir bezeichnen mit $a_{j,i}$ die $i$-te Komponente von $a_j$,
$i=1,\ldots, n$.
Wegen 
\[
|a_{k,i}-a_{l,i}|\le \|a_k-a_l\|_\infty,\quad (k,l\in\N)
\]
ist f\"ur alle $i=1,\ldots, n$ die Folge $(a_{j,i})_{j\in \N}$
eine Cauchyfolge in $\R$, also konvergent gegen ein $x_i\in\R$. Wir setzen
\[
x:=(x_1,\ldots, x_n).
\]
Wir zeigen nun 
\[
a_j\stackrel{j\to\infty}{\longrightarrow} x
\quad
\mbox{in}
\quad (\R^n,\|{\cdot}\|_\infty).
\]
Es gilt 
\[
|a_{j,i}-x_i|\stackrel{j\to\infty}{\longrightarrow} 
0
\quad
\mbox{f\"ur $i=1,\ldots, n$,}
\]
also
\[
\|a_j-x\|_\infty=\max_{i=1,\ldots,n}
|a_{j,i}-x_i|\stackrel{j\to\infty}{\longrightarrow} 
0,
\]
d.h. $
a_j\stackrel{j\to\infty}{\longrightarrow} x$.
\EndProof

\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}
{\rm   
Ein vollst\"andiger normierter Raum hei\ss{}t 
{\it Banachraum}. \index{Banachraum}
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Nat\"urlich bezieht sich ``Vollst\"andigkeit'' hier auf die von der Norm
induzierte Metrik. Alle R\"aume 
$(\R^n,\|{\cdot}\|_p)$, $1\le p\le +\infty$, sind also 
Banachr\"aume.
\\[5mm]
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{satz}  
Der Raum $({\cal C}[a,b],\|{\cdot}\|_\infty)$ ist ein Banachraum.
\end{satz}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Im Hinblick auf Anwendungen verallgemeinern wir diese Aussage noch:
Statt stetiger Abbildungen $f\colon[a,b]\to\R$ betrachten wir
stetige Abbildungen von einem beliebigen topologischen Raum 
mit Werten in einem Banachraum:
\\[5mm]
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}  {\rm
Sei $(M,{\cal T})$ ein nichtleerer topologischer Raum und 
$(V,\|{\cdot}\|)$ ein Banachraum. F\"ur 
$f\colon M\to V$ definieren wir
die {\it Supremumsnorm} \index{Supremumsnorm}
\[
\| f\|_\infty:=\sup\{\| f(x)\|
\mid x\in M\}.
\]
Wir setzen:
\[
{\cal C}_b(M,V):=\{f\colon M\to V\mid 
\mbox{\rm $f$ ist\ stetig\ und
$\| f\|_\infty<+\infty\}$}
\]
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Der Index ``$b$'' erinnert an ``beschr\"ankt''. Man kann zeigen,
da{\ss} $({\cal C}_b(M,V),\|{\cdot}\|_\infty)$ ein normierter
Raum ist. Ein Spezialfall ist ${\cal C}_b([a,b],\R)={\cal C}[a,b]$.

Wir zeigen nun:
\\[5mm]
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{satz}
$({\cal C}_b(M,V),\|{\cdot}\|_\infty)$ ist vollst\"andig,
also ein Banachraum.
\end{satz}
\end{minipage}}
\\[5mm]

{\bf Beweis:} Sei $(f_n\colon M\to V)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in
 $({\cal C}_b(M,V),\|{\cdot}\|_\infty)$. Es gilt f\"ur alle
$x\in M$ und $k,l\in\N$:
\[
\| f_k(x)-f_l(x)\|
\le\| f_k-f_l\|_\infty.
\]
Wenn also 
$\| f_k-f_l\|_\infty<\varepsilon$ f\"ur ein
$\varepsilon>0$ gilt, so erst recht 
$\| f_k(x)-f_l(x)\|<\varepsilon$.

Also ist f\"ur alle $x\in M$ die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$
eine Cauchyfolge in $(V,\|{\cdot}\|)$. Weil
\mbox{$(V,\|{\cdot}\|)$} ein Banachraum ist, konvergiert
diese Folge, und wir definieren 
\[
f\colon M\to V,\quad f(x):=
\lim_{n\to\infty}f_n(x).
\]
Wir zeigen nun: 
$\|f_n-f\|_\infty \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0$, d.h.
\[ \forall\epsilon > 0\; \exists m \in \N\; \forall n>m: \; 
\|f_n-f\|_\infty \le \epsilon.\]
(Beachten Sie, dass es hier gleichg\"ultig ist, ob wir 
``$< \epsilon$'' oder ``$\le \epsilon$'' schreiben.)
Sei hierzu $\epsilon >0$. Weil $(f_n)_{n \in \N}$ 
eine Cauchyfolge ist, k\"onnen wir $m \in \N$ w\"ahlen, 
so dass f\"ur alle $n,l>m$ gilt: $\|f_n-f_l\|_\infty \le \frac{\epsilon}{2}$. 
Es sei $x \in M$. Weil $\|f_{l}(x)-f(x)\|
\stackrel{l\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0$, 
k\"onnen wir $l>m$ w\"ahlen, so dass 
$\|f_{l}(x)-f(x)\|\le \frac{\epsilon}{2}$. Es folgt:
\begin{align*} 
\|f_{n}(x)-f(x)\| &
\le \|f_{n}(x)-f_{l}(x)\| + \|f_{l}(x)-f(x)\| &\le \|f_n-f_l\|_\infty 
+\frac{\epsilon}{2} &\le \frac{\epsilon}{2} + 
\frac{\epsilon}{2} &= \epsilon. 
\end{align*}
Weil das f\"ur alle $x \in M$ gilt, 
folgt $\|f_n-f\|_\infty \le \epsilon$. 
\\
Als n\"achstes zeigen wir, dass $f$ stetig ist. Wir m\"ussen also zeigen:
\[ 
\forall x \in M\; \forall \epsilon > 0 \; \exists U \in {\cal U}(x) 
\; \forall y \in U: \; \|f(x)-f(y)\| < \epsilon. 
\]
Seien hierzu $x \in M$ und $\epsilon > 0$. 
Weil $\|f_n-f\|_\infty \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}0$, 
k\"onnen wir ein $n \in \N$ mit $\|f_n-f\|_\infty < \frac{\epsilon}{3}$ 
w\"ahlen.
Weil $f_n$ stetig in $x$ ist, k\"onnen wir $U \in {\cal U}(x) $ w\"ahlen, 
so dass 
\[
\forall z\in U: \;\|f_{n}(x) -f_{n}(z)\| < \frac{\epsilon}{3}
\]
gilt. Es folgt f\"ur alle $ y \in U$:
\begin{align*} 
\|f(x)-f(y)\| &\le \|f(x)-f_{n}(x)\|+ \|f_{n}(x)-f_{n}(y)\| 
+ \|f_{n}(y)-f(y)\| 
\\&\le \|f-f_n\|_\infty + \frac{\epsilon}{3} + 
\|f_n-f\|_\infty \\
&< \frac{\epsilon}{3} +\frac{\epsilon}{3} + 
\frac{\epsilon}{3}  = \epsilon. 
\end{align*}
Schlie\ss{}lich gilt $\|f\|_\infty < + \infty$, da
\[
\|f\|_\infty \le \underbrace{\|f-f_n\|_\infty}_{\stackrel{n \to \infty}
{\longrightarrow}0} + \underbrace{\|f_n\|_\infty}_{< \infty}
\] 
f\"ur alle $n$.
Zusammengefa\ss{}t: Die Folge $(f_n)_{n \in \N}$ konvergiert gegen 
$f \in {\cal C}_{b}(M,V)$.
\EndProof

{\bf Bemerkung:} Die R\"aume $({\cal C}[a,b],\|{\cdot}\|_p)$ mit
$a<b$, $1\le p<+\infty$ sind jedoch {\it nicht} vollst\"andig.
Zum Beispiel ist
$(f_n)_{n\in\N}$ mit
\[
f_n(x)=\min\{x^{-1/(2p)},n\},\qquad f_n(0)=n,
\]
eine Cauchyfolge in der $\|{\cdot}\|_p$-Norm auf ${\cal C}[0,1]$,
aber die Grenzfunktion $f(x)=x^{-1/(2p)}$ liegt nicht in ${\cal C}[0,1]$,
denn sie divergiert f\"ur $x\to 0$.
In ${\cal C}[0,1]$ konvergiert die Folge nicht.

\begin{center}
\psfrag{l0}{$0$}
\psfrag{l1}{$1$}
\psfrag{l2}{$n$}
\psfrag{l3}{$f_n$}
\psfrag{l4}{$f$}
\includegraphics[width=10cm]{fig3}
\end{center}

\vspace{5mm}
\fbox{\huge\bf Hier fehlt ein Abschnitt.}\\
\fbox{\huge\bf Freiwillige zum Tippen gesucht!}
\\[5mm]

\section{Differentialrechnung im $\R^n$}
In deisem Kapitel geht es um Differentialrechnung mit  Funktionen
$f:\R^m\to\R^n$.
\subsection{Motivation: Fl\"achen im $\R^3$}
Zur informalen Einf\"uhrung sehen wir uns an, wie
Funktionen vom Typ $\R^2\to\R$, $\R^2\to\R^3$ und
$\R^3\to\R$ zur Beschreibung von Fl\"achen im Raum
dienen k\"onnen.
\\[5mm]
{\it Siehe die Folien in}
\begin{verbatim}
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~stochast/lehre/m2a_ss05_merkl/graphen.pdf\end{verbatim}
\subsection{Partielle Ableitungen}
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{defn}
{\rm  
  Sei $U\subseteq\R^n$ offen, $f\colon U\to\R$, 
  $x=(x_1,\ldots,x_n)\in U$, $i\in\{1,\ldots,n\}$. 
Die Funktion $f$ hei{\ss}t {\it
    partiell differenzierbar} 
\index{partiell differenzierbar}
\index{differenzierbar, partiell}
nach der $i$-ten Komponente. wenn
\[
D_i f(x):=\lim_{h\to 0}
\frac{f(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\ldots,x_n)-f(x)}{h}
\]
existiert. $D_if$ hei{\ss}t {\it partielle Ableitung} 
\index{partielle Ableitung} \index{Ableitung, partielle}
von $f$ nach
der $i$-ten Komponente. $f$ hei{\ss}t {\it partiell differenzierbar},
wenn sie partiell differenzierbar nach allen Komponenten ist.
}
\end{defn}
\end{minipage}}
\\[5mm]
Andere Schreibweisen f\"ur die partielle Ableitung $D_if$:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_i},
\;\partial_i f,\;\partial_{x_i} f,\;
f_{x_i}.
\]

{\bf Beispiel:} Sei $f\colon\R²\to\R$, $f(x,y)=x e^y$. Dann 
gilt 
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^y,\quad
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x e^y.
\]
{\bf Interpretation:} $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ bzw.
$\frac{\partial f}{\partial x_2}$ mi{\ss}t die Steigung
von $f$ entlang einer Parallelen zur $x_1$-Achse bzw.
$x_2$-Achse.

\begin{center}
\psfrag{l1}{$x_1$}
\psfrag{l2}{$x_2$}
\psfrag{l3}{$(x_1,x_2)$}
\psfrag{l4}{{\small
$\frac{\partial f}{\partial x_1}$ mi\ss{}t die Steigung in diese Richtung}}
\psfrag{l5}{{\small
$\frac{\partial f}{\partial x_2}$ mi\ss{}t die Steigung in diese Richtung}}
\includegraphics[width=10cm]{fig4}
\end{center}


Formaler: 
\[
D_i f(x)=\left[\frac{d}{dt}f(x+t e_i)\right]_{t=0},
\] 
wobei
$e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)^t$ den $i$-ten kanonischen Einheitsvektor
bezeichnet. 
\\
{\footnotesize 
Die Notation mit dem tiefgestellten ``$t=0$'' bedeutet: Man leitet erst nach
$t$ ab, und setzt dann $t=0$ ein.}
\\[3mm]
{\bf Allgemeiner:} F\"ur $x\in U, v\in\R^n$ hei{\ss}t
\[
\left[\frac{d}{dt}f(x+tv)\right]_{t=0}
\] 
die 
{\it Richtungsableitung} \index{Richtungsableitung}
von $f$ in Richtung von $v$, wenn sie
existiert. Sie mi{\ss}t den Anstieg von $f$ bei $x$ in Richtung von
$v$.
\begin{center}
\psfrag{l1}{$x_1$}
\psfrag{l2}{$x_2$}
\psfrag{l3}{$(x_1,x_2)$}
\psfrag{l5}{{\small Richtungsableitung mi\ss{}t Anstieg in diese Richtung}}
\psfrag{l4}{$v$}
\includegraphics[width=10cm]{fig5}
\end{center}
{\bf Noch allgemeiner:} Wir betrachten eine parametrisierte
Kurve $\gamma\colon I\to U\subseteq\R^n$ mit einem offenen Intervall
$I\ni 0$ und differenzierbaren Komponenten\
\[
\gamma=\left(\begin{array}{c}\gamma_1\\\vdots\\\gamma_n\end{array}\right),
\quad \gamma(0)=x.
\]
Die Ableitung
\[
\left[\frac{d}{dt} f(\gamma(t))\right]_{t=0}
\]
hei{\ss}t
{\it Richtungsableitung} von $f$ in Richtung der Kurve
$\gamma$. 
\\[5mm]
{\bf Beispiel:} 
\[
f(x,y)=x^2+y^2, \quad\gamma (t)={\cos t\choose\sin t}.
\]


Dann gilt $f(\gamma(t))=1$, also 
\[
\frac{d}{dt}f(\gamma(t))=0.
\]
In der Tat l\"auft $\gamma$ auf einer Niveaulinie von $f$.
F\"ur 
\[\eta(t)=(t+1){x\choose y}\] erhalten wir 
\[
f(\eta(t))=
(t+1)^2(x^2+y^2),\] also 
\[
\left[\frac{d}{dt} f(\eta(t))
\right]_{t=0}=2(x^2+y^2).
\]

\begin{center}
\psfrag{l1}{$x$}
\psfrag{l2}{$y$}
\psfrag{l4}{$\eta$}
\psfrag{l3}{$\gamma$}
\includegraphics[width=10cm]{fig6}
\\
{\footnotesize Die Niveaulinien von $f$ sind gestrichelt dargestellt.}
\end{center}

In Richtung von $\eta$ steigt also $f$ an, in Richtung von
$\gamma$ jedoch nicht.

\begin{defn}
{\rm
Sei $f\colon U\to\R^n$ partiell differenzierbar, $U\subseteq
\R^n$ offen, $x\in U$. Der Spaltenvektor der partiellen Ableitungen
\[
\operatorname{grad} f(x):=
\begin{pmatrix}
D_1 f(x)
\\
D_2 f(x)
\\
\vdots
\\
D_n f(x)
\end{pmatrix}
\]
hei{\ss}t {\it Gradient} \index{Gradient}
von $f$ bei $x$. Andere Schreibweise:
\[
\nabla
f(x)=\operatorname{grad} f(x).
\] 
Ist $f$ sogar zweimal partiell differenzierbar,
d.h. existieren $D_i D_j f$ f\"ur alle $i,j=1,\ldots, n$, so hei{\ss}t
die Matrix der 2. Ableitungen
\[
\operatorname{Hess} f(x)=
\begin{pmatrix}
D_1D_1f(x)&\ldots&D_1D_n f(x)
\\
\vdots&\ddots&\vdots
\\
D_nD_1f(x)&\ldots&D_nD_nf(x)
\end{pmatrix}=(D_iD_j f(x))_{i,j=1\ldots n}
\]
die {\it Hessematrix} \index{Hessematrix}
von $f$ bei $x$. Statt $D_i D_j f$ schreiben
wir auch $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$
als Abk\"urzung f\"ur 
$\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial x_j}f$.

{\footnotesize Manche Autoren drehen hier die Reihenfolge
im Nenner um. In den meisten F\"allen macht das aber keinen Unterschied; siehe
Lemma \ref{schwarz} unten.}

Die
{\it Spur} von $\operatorname{Hess} f(x)$, 
also die Summe der Diagonaleintr\"age,
hei{\ss}t {\it Laplaceoperator} \index{Laplaceoperator}
von $f$ an der Stelle $x$ und wird mit $\Delta f(x)$ bezeichnet.
}
\end{defn}

{\bf Beispiel:} F\"ur $f(x)=\| x\|_2$, $x\in\R^n
\setminus\{0\}$ erhalten wir
\begin{eqnarray*}
\nabla f(x)&=&\left(
\frac{\partial}{\partial x_i}
\sqrt{\sum^n_{j=1}x_j^2}
\right)_{i=1\ldots n}
=\left(\frac{2x_i}{2\| x\|_2}\right)_{i=1\ldots n}=
\frac{x}{\| x\|_2}
\end{eqnarray*}
und
\begin{eqnarray*}
\operatorname{Hess} f(x)&=&
\left(\frac{\partial}{\partial x_i}
\frac{\partial}{\partial x_j}
\| x\|_2\right)_{i,j=1\ldots n}=
\\
&=&\left(\frac{\partial}{\partial x_i}
\frac{x_j}{\| x\|_2}\right)_{i,j}=
\left(\frac{\delta_{ij}\| x\|_2-
x_j\frac{x_i}{\| x\|_2}}{\| x\|_2^2}
\right)_{i,j}
\\
&=&\left(\frac{\delta_{ij}}{\| x\|_2}-
\frac{x_i x_j}{\| x\|^3_2}\right)_{i,j=1\ldots n}
=\frac{1}{\| x\|_2}E-\frac{1}{\| x\|^3_2}x x^t.
\end{eqnarray*}
Hierbei bezeichnet $\delta_{ij}=
\begin{cases}
1,i=j\\
0,i\ne j
\end{cases}$
das Kronecker-Delta und $E$ die $n\times n$ Einheitsmatrix.

Weiter gilt:
\[
\Delta f(x)=\sum^n_{j=1}\left(
\frac{\delta_{ij}}{\| x\|_2}-
\frac{x_j^2}{\| x\|_2^3}\right)=
\frac{n-1}{\| x\|_2}.
\]
Es ist kein Zufall, da{\ss} die Hessematrix in dem Beispiel
symmetrisch ist. Es gilt n\"amlich folgende {\it 
Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen:}
\\[5mm]
\fbox{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{satz}[Schwarz]
\label{schwarz}
  Existieren $D_i f$, $D_j f$ und $D_i D_j f$, und ist $D_i D_j f$
stetig bei $x$, so existiert auch $D_j D_i f(x)$ und es gilt
$D_i D_j f(x)= D_j D_i f(x)$.
\end{satz}
\end{minipage}}
\\[5mm]
{\bf Beweis:} Sei $f$ mindestens in 
$U_r^{\|{\cdot}\|_\infty}(x)$ definiert. Wir setzen
f\"ur $(h,k)\in U_r^{\|{\cdot}\|_\infty}(0)$:
\[
g(h,k)=f(x+h e_i+ke_j)-f(x+he_i)-f(x+ke_i)+f(x).
\]
\\
\begin{center}
\psfrag{l1}{$x$}
\psfrag{l2}{$x+he_i$}
\psfrag{l3}{$x+ke_j$}
\psfrag{l4}{$x+he_i+ke_j$}
\psfrag{l5}{\huge$+$}
\psfrag{l6}{\huge$-$}
\includegraphics[width=5cm]{fig7}
\\
{\footnotesize Zur Vorzeichenwahl in $g$}
\end{center}

Seien $(h,k)\in U_r^{\|{\cdot}\|_\infty}(0)$. Der
Mittelwertsatz, angewendet auf die Funktion
\[
t\mapsto f(x+he_i+t e_j)-f(x+t e_j),
\quad -r<t<r,
\]
liefert: Es gilt $\xi_h\in[0,1]$ mit
\[
g(h,k)=[D_j(x+he_i+\xi_h ke_j)-D_j f(x+\xi_h ke_j)]\cdot k.
\]
\\
\begin{center}
\psfrag{l1}{$x$}
\psfrag{l2}{$x+he_i$}
\psfrag{l3}{$x+ke_j$}
\psfrag{l4}{$x+he_i+ke_j$}
\psfrag{l5}{$x+te_j$}
\psfrag{l6}{$x+he_i+te_j$}
\includegraphics[width=5cm]{fig8}
\\
\end{center}

Nochmal der Mittelwertsatz, diesmal angewendet auf
\[
s\mapsto D_j f(x+s e_i+\xi_h k e_j), \quad r<s<r,
\]
liefert: Es gibt $\vartheta_{h,k}\in[0,1]$ mit
\[
g(h,k)=D_i D_j f(x+\vartheta_{h,k} he_i+\xi_h ke_j)\cdot hk.
\]
Wir setzen 
\[
\varphi (h,k):=\vartheta_{h,k}he_i+\xi_h ke_j.
\]
Insbesondere gilt
\[
\lim_{(h,k)\to 0}\varphi(h,k)=0,\quad\hbox{also}\ \lim_{(h,k)\to 0}
D_i D_j f(x+\varphi(h,k))=D_i D_j f(x),
\]
weil $D_i D_j f$ stetig in $x$ ist. Wir zeigen nun
\[
\lim_{k\to 0}\frac{1}{k}[D_i f(x+ke_j)- D_i f(x)]=D_i D_j(x),
\]
anders geschrieben:
\[
\forall\varepsilon>0\quad\exists \delta>0\quad\forall k\in U_\delta
(0)\setminus\{0\}\colon
\;
\left|\frac{1}{k}[D_i f(x+ke_j)-D_i f(x)]-
D_i D_j f(x)\right|<\varepsilon.
\]
Sei hierzu $\varepsilon>0$. Wir w\"ahlen $\delta>0$ so klein, da{\ss}
f\"ur alle $(h,k)\in U_\delta^{\|{\cdot}\|_\infty}(0)$
gilt: 
\[
|D_i D_j f(x+\varphi(h,k))-D_i D_j f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}.
\]
Sei nun $k\in U_\delta(0)$, $k\ne 0$.

Wir w\"ahlen $h\in U_\delta(0)$, $h\ne 0$ so klein, da{\ss} gilt:

\[
\left|\frac{1}{h}[f(x+ke_j+he_i)-f(x+ke_j)]-D_i f(x+ke_j)\right|
<\frac{\varepsilon}{4}
|k|
\]
und
\[
\left|\frac{1}{h}[f(x+he_i)-f(x)]-D_i f(x)\right|<\frac{\varepsilon}{4}|k|,
\]
also durch Addition und Dreiecksungleichung:
\[
\left|
\frac{1}{h}g(h,k)-[D_i f(x+k e_j)-D_i f(x)]
\right|
<\frac{\varepsilon}{2}|k|,
\]
folglich
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\left|\frac{1}{k}[D_i f(x+ke_j)-D_i f(x)]-D_i D_j f(x)\right|}
\\
&\le&\left|\frac{1}{k}[D_i f(x+ke_j)-D_i f(x)]-\frac{1}{hk}g(h,k)\right|
+|D_i D_j f(x+\varphi(h,k))-D_iD_j f(x)|
\\
&<&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
.
\end{eqnarray*}
\EndProof


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\end{document}