Vorläufiger Lehrplan für Numerik I

(Prof. Laszlo Erdos)

MOTTO

Wir versuchen (fast) alle Aspekte der wichtigsten Aufgaben und Ideen in der Numerik im ersten Semester (Numerik I) zu präsentieren. Die meisten Details und vertiefte Verfahren kommen in zweitem Semester dran.

GRUND

Eine normale Sequenz der Numerikvorlesung hat mindestens zwei Semester (an den meisten technischen Universitäten gibt es vier Semester). Die Studienordnung für Hauptdiplom Mathematik schreibt nur ein Semester Numerik als Pflichtveranstaltung vor (für Wirtschaftsmathematiker als Wahlpflichtveranstaltung). Ähnlich sieht der Physikstudiengang nur ein Semester vor. Unseren Erfahrungen nach haben die meisten Studenten nur Numerik I und nicht Numerik II gehört.
Persönlich halte ich dieses System für einen Fehler und meiner Meinung nach sollte jeder Mathematikstudent Numerik I und II hören. Der Grund ist dass die meisten unserer Diplomanden keinen Job in der Wissenschaft sondern in der Industrie finden werden, und in diesen Gebieten sind anwendungsorientierte Ausbildung (wie Numerik, Programmierung oder Statistik) wertvoll.
Unabhängig von meiner persönlichen Meinung, ziehe ich die Realität in Betracht und ich versuche einem nicht-traditionellen Lehrplan zu folgen, der es den Studenten ermöglicht, einen größtmöglichen Überblick der Numerik schon in Numerik I zu bekommen.
Normalerweise enthält Numerik I die numerischen Methoden von linearer Algebra, Interpolation und numerische Integration. Numerik II enthält vertiefte Approximationsprobleme, nichtlineare Probleme, Anfangswert- und Randwertsprobleme von gewöhnliche Differentialgleichungen (GDG) und möglicherweise etwas partielle Differentialgleichungen (PDG). Lineare Programmierung und andere Optimisierungsprobleme fallen meistens ausserhalb dieses Zeitraums.
In unserem Lehrplan weichen wir von diesen Traditionen ab:

Wir werden die einfacheren Verfahren in (fast) allen oben genannten Gebieten diskutieren.
Wir werden einige Beweise auslassen oder auf Numerik II verschieben. In anderen Beweisen betrachten wir nur einfachere Fälle.

Verzichterklärung (disclaimer): dies ist nur ein Plan. Die aktuelle Vorlesung kann davon wesentlich abweichen.

Lehrplan

1. Einführung in die Numerik

Wichtigkeit der Numerik, Beispiele
Rechnerarithmetik
Ursprung der numerischen Fehler. Kondition und Stabilität.
Norm und Kondition einer Matrix

2. Interpolation

Lagrange
Hermite

Numerische Integration

Newton-Coates

Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Wiederholung der Theorie.
Gauss Eliminationsverfahren, LR Zerlegung, Pivotisierung
Cholesky Verfahren
Householder und Givens Verfahren, QR-Zerlegung.

Lineare Ausgleichsprobleme

Gauss Fehlerquadratmethode
Wiederholung der Diagonalisierung. Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse. Bildkompression
Numerische Methoden durch LR und QR-Zerlegungen

Iterative Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Fixpunktiteration im Fall der Kontraktion
Bisektionsverfahren
Newton Verfahren
Jacobi und Gauss-Seidel Verfahren zur iterativen Lösung der linearen Gleichungssysteme

Eigenwertsprobleme

Wiederholung der Theorie. Störungstheorie des Eigenwertes (Gerschgorin Kreise). Variatonsprinzip. Minimax Prinzip.
Vektoriteration und Inverse Vektoriteration. Tricks zur Eigenwertlokalisierung: Verlagerung (shift).
Jacobi Verfahren
QR Verfahren. Bisektion Method (oder Newton Verfahren) für tridiagonale Matrizen nach dem Hessenberg Verfahren für Tridiagonalisierung.
QR Verfahren zur Singulärwertzerlegung mit ``chasing''

Anfangswertprobleme der GDG

Wiederholung der Theorie
Einschrittverfahren: explizite Euler, Runge-Kutta und ihre Modifikationen.

Randwertaufgabe der GDG

Differenzverfahren.