Mathematisches Seminar über Inverse Probleme
Wintersemester 2001/02
Inhalt
Fledermäuse nutzen Ultraschall zur Ortung von
Hindernissen auf die gleiche Weise wie diese Technik in der Medizin zur
schonenden Untersuchung von Babies im Mutterleib verwendet wird. Dabei
werden Schallwellen aktiv ausgesandt und nach einer Streuung
wieder registriert. Sodann gilt es, hieraus die Geometrie oder auch gewisse
Materialeigenschaften der streuenden Objekte zu rekonstruieren. Mathematisch
läßt sich die Streuung der Wellen als sachgemäß gestelltes Problem
von Differentialgleichungen formulieren, d.h. Existenz, Eindeutigkeit und
stetige Abhängigkeit von den Daten sind gewährleistet. Dagegen stellt
die Rekonstruktion im allgemeinen ein schlecht gestelltes Problem dar.
Solche sogenannten inversen Probleme werden mit funktionalanalytischen
Methoden untersucht.
Themen
1. Mathematische Grundlagen des Ultraschalls (Hinz, 2001-10-16)
2. Die Helmholtzgleichung (Hinz, 2001-10-30)
3. Schlecht gestellte Probleme (Ritter, 2001-10-30, 2001-11-06)
4. Allgemeine Regularisierungstheorie (Frank, 2001-11-20, 2001-11-27)
5. Tikhonov-Regularisierung (Dorfmeister, 2001-12-04, 2001-12-18)
6. Das Landweber-Verfahren
7. Das Verfahren der konjugierten Gradienten
8. Projektionsmethoden
9. Galerkin-Methoden
10. Kollokationsverfahren
11. Die Lippmann-Schwinger-Gleichung
12. Eindeutige Fortsetzbarkeit
13. Das inverse Problem für akustische Wellen (Scheiter, 2002-01-08, 2002-01-15)
14. Dualraum-Methoden
15. Die Numerik der Singulärwertzerlegung
Exkursion
Am 22. Januar 2002 fand ein Lokaltermin an der Klinik für Mund-, Kiefer- und Gesichtschirurgie
des Klinikums Rechts der Isar der TU München mit Besichtigung des Ultraschallmikroskops statt.
A. M. Hinz, andreas.hinz@mathematik.uni-muenchen.de, 2002-01-25