Inverse Probleme
Sommersemester 2004
Inhalt
Wenn die Antwort "Paris" ist, wie lautet dann wohl die Frage?
Hauptstadt oder größte Stadt Frankreichs oder Sohn des
Priamos? Während das direkte Problem "wie heißt die
Hauptstadt von Frankreich?", eventuell mit einer Nebenbedingung
wie im letzten Fall "der mit dem Urteil", eindeutig zu beantworten
ist, sind inverse Probleme, wie die Frage am Anfang, meist schlecht
gestellt. In den Naturwissenschaften fragt man sich oft: Kann man
aus der Wirkung auf die Ursachen schließen? Zum Beispiel nutzen
Fledermäuse den Ultraschall zur Ortung von
Hindernissen auf die gleiche Weise wie diese Technik in der Medizin zur
schonenden Untersuchung von Babies im Mutterleib verwendet wird. Dabei
werden Schallwellen aktiv ausgesandt und nach einer Streuung
wieder registriert. Sodann gilt es, hieraus die Geometrie oder auch gewisse
Materialeigenschaften der streuenden Objekte zu rekonstruieren. Mathematisch
läßt sich die Streuung der Wellen als sachgemäß gestelltes Problem
von Differentialgleichungen formulieren, d.h. Existenz, Eindeutigkeit und
stetige Abhängigkeit von den Daten sind gewährleistet. Dagegen stellt
die Rekonstruktion im allgemeinen ein schlecht gestelltes Problem dar.
Solche inversen Probleme werden mit funktionalanalytischen oder numerischen
Methoden untersucht.
Literatur
zur Einstimmung:
C. W. Groetsch, Inverse problems, Mathematical Association of America, Washington DC, 1999.
Eine ausführliche Literaturliste wurde im Laufe der Veranstaltung zusammengestellt.
Inhalt
Es wurden behandelt:
Kapitel 0. Einleitende Beispiele
1. Beispiele für inverse Probleme
1.1. Faktorisierung
1.2. Der Turm von Hanoi
1.3. Die Regressionsgerade
1.4. Abstrakte Formulierung direkter/inverser Probleme
1.5. Zeitumkehr
1.6. Modellbildung
1.7. Zerstörungsfreie Messung
1.8. Integralgleichungen erster Art
Kapitel 1. Kompakte Operatoren
2. Hilberträume
2.1. Metrische Räume
2.2. Normierte Räume
2.3. Unitäre Räume
3. Lineare Operatoren
3.1. Beschränkte Operatoren
3.2. Kompakte Operatoren
3.3. Spektraltheorie kompakter Operatoren
4. Verallgemeinerte Inverse
4.1. Schlecht gestellte Operatorgleichungen
4.2. Stabilisierung
Ein Skriptum zur Vorlesung liegt vor.
A. M. Hinz, Andreas.Hinz@mathematik.uni-muenchen.de, 2004-08-13