Mathematisches Institut
der LMU, München
Priv.-Doz. Dr. B. Hanke


Seminar - Wintersemester 08/09


Der Atiyah-Singer-Indexsatz


Nach dem Rangsatz der linearen Algebra hängt der Index (d.h. dim ker f - dim koker f) einer linearen Abbildung f : V -> W zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen alleine von den Dimensionen von V und W ab. Eine so einfache Formel für ind(f) existiert nicht, falls man annimmt, dass zwar ker f und koker f endlichdimensional sind (also der Index definiert werden kann), nicht jedoch V und W.

Diese Annahme ist insbesondere erfüllt, wenn f ein elliptischer Differentialoperator auf dem Raum der glatten Schnitte eines Vektorbündels über einer glatten geschlossenen Mannigfaltigkeit M ist. Viele Fragestellungen der globalen Analysis, der Differentialtopologie und der mathematischen Physik führen genau auf diesen Fall.

Der Atiyah-Singer-Indexsatz formuliert unter den beschriebenen Voraussetzungen einen engen Zusammenhang zwischen ind(f) und der Topologie von M. Er ist von enormer Tragweite und kann als eines der zentralen Ergebnisse der Mathematik überhaupt gelten.

In diesem Seminar werden wir die mathematischen Begriffe und Methoden erarbeiten, die in die Formulierung und den Beweis des Indexsatzes eingehen (Vektorbündel, K-Theorie, charakteristische Klassen, Theorie der Pseudodifferentialoperatoren). Der eigentliche Beweis orientiert sich am Vorgehen in den klassischen Arbeiten von Atiyah und Singer.

Diese Veranstaltung richtet sich an fortgeschrittene und motivierte Studenten mit guten Vorkenntnissen in den Bereichen Topologie/Geometrie oder Analysis/PDEs. Sie soll insbesondere auch den Austausch zwischen diesen Gebieten befördern.

Als Grundlage für das Seminar dienen vornehmlich

B. Booß: Topologie und Analysis, Springer-Verlag (1977),

H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn: Spin-Geometry, Princeton University Press (1989).

die erste Sitzung findet statt am


Montag, den 13. Oktober 2008 um 10 Uhr ct. im Raum A248.

Vortragsplanung