Department Mathematik
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Wintersemester 2019-20

Zahlentheorie (LA Gym.)


Vorlesung: dienstags, 16:10-17:45 Uhr im Hörsaal B 138
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Klausurtermin:Donnerstag, 20. Februar 2020, 16:30-18:30 Uhr in den Hörsälen B 138 und C 123
im Mathematischen Institut

Hinweis:
Zur Klausur sind keine Hilfsmittel zugelassen, auch keine handgeschriebenen Notizen.

Bitte melden Sie sich über Uni2Work zur Klausur an.
Nachklausurtermin:Mittwoch, 15. April, 12:30-14:30 Uhr
Vorlesungsskript:Stand 5. November, 100 Seiten (PDF)
Übungsgruppen: Für diese Vorlesung ist kein regulärer Übungsbetrieb vorgesehen. Ich werde aber auf je­dem Übungsblatt der parallel stattfindenden Algebra-Vorlesung auch jeweils eine Aufgabe zur Zahlentheorie unterbringen, die auch bearbeitet und zur Korrektur abgegeben werden kann.
Vorlesungsverlauf:
DatumInhaltSkript
15.10.19Einführungsbeispiel Quadratsummen; Ringdefinition3-5,8
22.10.19Ringhomomorphismen, Nullteiler, Einheiten, Charakteristik8-13
29.10.19Teil- und Erweiterungsringe, Erzeugendensysteme13-20
05.11.19Konstruktion von Ringerweiterungen, Quotientenkörper und Polynomringe20-26
12.11.19Teilbarkeit, ggT und kgV, euklidische Ringe26-28,31-33
19.11.19euklidischer Algorithmus, Ideale und Erzeugendensysteme34-41
26.11.19Produktideale, Primideale, maximale Ideale, Nebenklassen41-48
03.12.19Faktorringe, Homomorphie- und Korrespondenzsatz48-53
10.12.19Chinesischer Restsatz54-58
17.12.19Primitivwurzeln, Struktur der primen Restklassengruppen59-63
07.01.20idealth. Beschreibung von ggT und kgV, irreduzible und prime Elt.63-68
14.01.20irreduzible und prime Elemente (Forts.), faktorielle Ringe68-76 (*1)
28.01.20eindeutige Primfaktorzerlegung, Hauptidealringe sind faktoriell76-79
07.02.20Irreduzibilitätskriterien und Gaußsches Lemma79-84
11.02.20Kreisteilungspolynome, Überblick zum Quadratischen Rez.-Gesetz85-99 (*2)
(*1) Der Anhang zu Kapitel 10 wurde nicht behandelt.
(*2) nicht mehr klausurrelevant
Inhalt: Ein nicht unwesentlicher Teil des mathematischen Schulunterrichts ist den natürlichen und ganzen Zahlen gewidmet. An­ge­fan­gen mit den elementaren arithmetischen Operationen (Addition, Sub­traktion, Multiplikation), ihren Rechenregeln und der besonderen Rolle der Zahlen 0 und 1 be­han­delt man dort im weiteren Verlauf Begriffe wie den Kehrwert, Teilbarkeit, Division mit Rest, kgV und ggT sowie die Primfaktorzerlegung. Diese Konzepte lassen sich im Rahmen der Ringtheorie stark verallgemeinern. Ein wichtiges Ziel der Vorlesung besteht darin, das Verständnis für arithmetische Ge­setz­mäßigkeiten durch diese Verallgemeinerung und durch das Studium einer Vielzahl von neu­ar­tigen Beispielen zu vertiefen. So werden wir unter anderem Polynomringe, Gaußsche Zahlen und auch endliche Ringe kennenlernen. Zugleich werden wir sehen, dass sich Fragestellungen der Ele­men­ta­ren Zahlentheorie durch diesen allgemeinen Zugang systematischer und effektiver be­ar­bei­ten lassen.
Literatur:
  • J. Böhm, Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag.
  • C. Karpfinger, K. Meyberg, Algebra. Spektrum Akademischer Verlag.
  • F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akademischer Verlag.
  • S. Müller-Stach, J. Piontkowski, Elementare und algebraische Zahlentheorie. vieweg-Verlag.

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