Department Mathematik
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Wintersemester 2017/18

Zahlentheorie (LA Gym.)


Vorlesung: dienstags 16:15-17:55 Uhr im Hörsaal B 138
Klausurtermin:Donnerstag, 22. Februar, 10:00-12:00 Uhr
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Vorlesungsskript:57 Seiten (PDF), Stand 13. November 2017
Übungsblätter: Für diese Vorlesung ist kein Übungsbetrieb vorgesehen. Auf den Übungsblättern der Algebra-Vor­le­sung werden aber regelmäßig auch Aufgaben zur Zahlentheorie gestellt, und es werden auch Mu­sterlösungen für diese Aufgaben geschrieben.
Vorlesungsverlauf:
DatumInhaltSkript
17.10.17Primzahlen als Quadratsumme (Einführungsbsp.), Definition der Ringe2-7
24.10.17Homomorphismen, Nullteiler, Einheiten, Charakteristik eines Rings7-11
07.11.17Teilringe und Erzeugendensysteme, Konstruktion von Polynomringen11-18
14.11.17Eigenschaften der Polynomringe, Teiler-Relation, euklidische Ringe
(Der Beweis in Abschnitt 2.5 wurde nicht im Detail behandelt.)
18-28
Inhalt: Ein nicht unwesentlicher Teil des mathematischen Schulunterrichts ist den natürlichen und ganzen Zahlen gewidmet. Angefangen mit den elementaren arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation), ihren Rechenregeln und der besonderen Rolle der Zahlen 0 und 1 behandelt man dort im weiteren Verlauf Begriffe wie Kehrwert, Teilbarkeit, Division mit Rest, kgV und ggT sowie die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Diese Konzepte lassen sich allgemein im Rahmen der Ringtheorie formulieren. Ein wichtiges Ziel der Vorlesung besteht darin, das Verständnis für arithmetische Gesetzmäßigkeiten durch eine Vielzahl neuartiger Beispiele zu vertiefen. So werden wir unter anderem Polynomringe, Gaußsche Zahlen und endliche Ringe kennenlernen. Zugleich werden wir sehen, dass sich viele elementare Fragestellungen durch diesen allgemeinen Zugang einfacher und systematischer bearbeiten lassen.
Literatur:
  • Karpfinger/Meyberg, Algebra, Spektrum Akademischer Verlag
  • Lorenz/Lemmermeyer, Algebra 1, Spektrum Akademischer Verlag
  • Müller-Stach/Piontkowski, Elementare und algebraische Zahlentheorie, vieweg-Verlag

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