Department Mathematik
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Aufgabensammlung zum Staatsexam in Algebra

Die Aufgaben des schriftlichen Staatsexamens lassen sich folgenden Einzeltheorem zuordnen.
  1. Elementare Gruppentheorie
  2. Symmetrische Gruppen
  3. Fortgeschrittene Gruppentheorie
  4. Sylowsätze
  5. Ringtheorie
  6. Euklidischer Algorithmus und quadratische Zahlringe
  7. Kongruenzrechnung und Chinesischer Restsatz
  8. Polynome
  9. Algebraische Körpererweiterungen
  10. Normale und separable Erweiterungen
  11. Endliche Körper und Kreisteilungskörper
  12. Abstrakte Galoistheorie
  13. Bestimmung von Galoisgruppen
  14. Lineare Algebra
  15. Zahlentheorie


Aufgaben in der Originalfassung
Auf dieser Seite finden Sie zu jedem Themenblock eine Liste der zugeordneten Aufgaben, zusammen mit einer etwas genaueren inhaltlichen Beschreibung. Die Zusammenstellung kann verwendet werden, um Aufgaben zu einem be­stimm­ten Thema gezielt zu trainieren. Am besten eignen sich anfangs dazu die blau hinterlegten Aufgaben, weil dort abgesehen von Linearer Algebra keine Kenntnisse aus einem späteren Thema vorausgesetzt werden. (Zum Beispiel behandeln die blau hinterlegten Aufgaben zum
Thema 3 nur Stoff aus den Themengebieten 1, 2, 3 und 14.)


Bereich 1: Elementare Gruppentheorie

(Untergruppen, Element- und Gruppenordnungen, Satz von Lagrange, Faktorgruppen
und Homomorphiesatz, endlich erzeugte abelsche Gruppen)

H00T3A1 F01T1A2 F01T2A1 H01T1A2 H01T2A1 H01T3A2
F02T1A3 F02T2A4 F02T3A2 F03T1A1 F03T1A5 H03T1A1
F04T1A1 F05T2A1 F05T3A2 H05T1A2 H05T2A1 H05T2A2
H05T3A1 H05T3A3 F06T2A1 F06T2A3 F06T2A5 F06T3A2
F06T3A3 F07T3A3 H07T1A2 H07T2A1 H07T2A2 F08T2A3
F08T3A2 H08T1A2 H08T3A2 F09T1A1 F09T1A2 H09T2A2
H09T3A1 F10T2A2 H10T1A1 H10T2A3 H10T3A2 F11T1A2
H11T2A2 F12T1A1 F12T2A1 F12T2A2 H12T3A1 F13T1A3
F13T2A1 F13T2A2 H13T1A1 F14T2A3 F14T3A1 H14T3A3
F15T3A1 H15T2A1 H15T3A2 F16T1A3 F16T3A1 F17T2A2
F17T2A3 F17T3A1 H17T3A2

Bereich 2: Symmetrische Gruppen

(Hier stehen alle Aufgaben, in denen es um Eigenschaften der Permutationsgruppen und
ihrer Elemente geht. Gelegentlich taucht der Begriff der Sylowgruppe auf, es werden aber
keine Sylowsätze gebraucht, solange die Aufgabe nicht zusätzlich dem Bereich 4 zugeord-
net ist.)

F00T2A1 F01T2A5 H01T2A1 F02T1A3 F02T2A2 F02T3A2
F03T1A1 F03T2A2 H03T1A1 H03T2A1 F04T2A1 F04T3A3
H04T1A1 F05T2A2 H05T1A2 F06T1A3 F06T2A5 H06T2A1
F07T1A5 F07T2A1 F08T1A2 H08T2A1 F09T2A1 F09T3A1
H09T2A3 F10T1A5 F10T3A3 H10T2A2 F11T2A3 F11T3A2
H11T1A1 H11T3A1 F12T1A2 F12T2A1 H12T3A2 H13T2A3
H13T2A5 H13T3A3 H15T2A2 F17T3A2 H17T1A3 H17T2A2

Bereich 3: Fortgeschrittene Gruppentheorie

F00T3A2 H02T1A1 H02T1A2 H03T2A1 H03T3A1 H07T3A1
F08T2A1 F08T3A1 H08T1A2 H08T3A2 F09T2A2 H09T1A3
F10T1A1 F10T3A3 F10T3A4 H10T1A1 H10T2A2 H10T3A1
F11T2A3 F11T3A2 F12T3A1 H12T1A1 H12T2A1 F13T1A5
H13T2A2 H13T3A4 F14T1A1 H14T1A4 H14T2A3 F15T2A4
H16T2A1

Bereich 4: Sylowsätze

(Anwendung der Sylowsätze zum Nachweis von Normalteilern und zur Klassifikation von
Gruppen fester Ordnung, Zerlegung von Gruppen in direkte und semidirekte Produkte,
Konstruktion semidirekter Produkte)

F00T1A2 H00T1A1 H00T2A1 H00T3A1 F01T2A2 F01T3A2
H01T3A1 H02T2A2 H02T3A1 F03T3A1 H03T3A1 H04T2A1
H04T3A1 F05T2A2 H05T2A1 H05T3A1 H06T1A4 H06T3A2
F07T1A1 H08T3A3 F09T3A3 H09T3A1 F10T2A1 H10T1A2
F12T1A2 H12T3A1 F13T1A3 F13T3A1 H13T1A2 H14T2A4
H14T3A1 F15T1A3 F15T3A2 H15T1A3 F16T2A1 F16T3A3
H16T1A1 H16T2A2 H16T3A3 F17T1A3 F17T2A1 F17T3A2
H17T3A1

Zusatzmaterial:

Bereich 5: Ringtheorie

(Diese Aufgaben behandeln Konzepte der abstrakten Ringtheorie: Einheiten, Nullteiler,
Integritätsbereiche, Ideale, Faktorringe, Primideale und maximale Ideale, Hauptidealringe,
Primelemente, irreduzible Elemente)

F01T1A1 F01T1A3 F01T2A3 F01T3A4 H01T1A3 H01T2A3
H01T3A3 F02T1A4 F02T2A4 F02T3A1 F02T3A4 F02T3A5
H02T1A4 H02T2A3 H02T3A3 F03T1A3 F03T2A3 F03T3A4
F03T3A5 H03T3A2 F04T3A4 F05T1A2 F05T2A3 H05T1A3
H05T2A3 F06T2A6 F06T3A4 F07T1A4 H07T1A3 H08T3A1
F09T1A3 F09T2A3 F09T3A1 H09T2A1 F10T3A2 H10T1A4
H11T2A1 F12T1A3 F12T2A1 F12T3A4 F13T2A3 F13T3A3
H13T1A1 F14T2A5 H14T1A2 H14T2A1 H14T3A3 F15T1A4
F15T2A2 F15T3A3 F16T2A5 F16T3A4 H16T3A2 H16T3A4
F17T3A3 H17T1A4 H17T3A3

Bereich 6: Euklidischer Algorithmus und quadratische Zahlringe

(Euklidische Ringe, Anwendungen des Euklidischen Algorithmus, irreduzible Elemente
und Primideale in quadratischen Zahlringen)

F02T1A4 F03T2A1 H03T2A4 F04T2A2 H04T1A3 H04T2A2
F05T1A3 H05T3A2 H06T1A2 H06T3A1 F07T2A2 F09T3A2
H09T3A2 F10T2A3 H10T1A3 F12T2A3 H12T1A4 F13T1A1
F13T3A2 F14T1A3 F14T2A1 F14T2A2 F14T3A3 H14T3A4
F16T1A4 F16T2A2 F17T1A1

Bereich 7: Kongruenzrechnung und Chinesischer Restsatz

(Anwendungen des Chinesischen Restsatzes, Lösung von Polynomgleichungen in Z/nZ,
Rechnen in beliebigen Faktorringen)

F00T1A3 F00T2A2 F00T3A1 H00T2A2 H01T2A2 H01T3A1
H01T3A2 F02T3A4 H02T3A2 F03T2A1 F03T3A5 F04T3A1
H04T1A2 H04T3A2 F05T1A1 F05T3A3 F05T3A4 H05T1A1
F06T1A4 F06T2A2 H06T1A1 H06T2A4 F07T1A2 H07T1A1
H07T3A2 H07T3A3 F08T1A5 H08T1A1 H08T2A2 H09T1A4
H10T2A1 F11T1A3 F11T2A1 F11T3A1 H11T1A4 H11T3A4
F12T1A4 H12T1A2 H12T1A5 H12T3A4 F13T1A1 F13T3A2
H13T3A5 F14T3A2 H14T1A5 H14T2A3 H14T3A2 F15T1A2
F15T2A1 H15T1A1 H15T2A3 H15T3A1 F16T1A2 F16T3A2
H16T1A4 H16T2A5 F17T1A4 F17T2A2 H17T1A3

Bereich 8: Polynome

(Irreduzibilität von Polynomen, Eigenschaften von Polynomringen, Kreisteilungspolynome)

H00T1A2 H00T2A3 H00T3A2 H00T3A4 H01T3A5 F02T2A1
F02T3A3 H02T1A3 H02T1A4 H02T3A3 F03T1A2 F03T3A3
H03T2A5 F04T1A2 F04T3A1 H04T2A3 F05T1A4 H05T1A1
F06T1A2 H06T2A3 F07T2A3 H07T2A3 H07T3A3 H07T3A5
F08T2A2 F08T2A4 H08T1A3 H08T1A4 F09T1A4 H09T2A4
F10T1A3 F10T2A4 F10T3A1 H10T2A4 H10T3A3 F11T2A2
H11T1A2 H11T1A3 H11T2A3 H11T3A2 H11T3A5 F12T3A3
H12T2A2 H12T2A3 H12T3A5 F13T1A2 F13T1A4 F13T3A4
H13T1A5 F15T2A3 H17T1A5 H17T2A3

Bereich 9: Algebraische Körpererweiterungen

(theoretische Aufgaben zu endlichen und algebraischen Erweiterungen, Anwendungen
des Gradsatzes, Eigenschaften und konkretes Rechnen in einfachen algebraischen Er-
weiterungen)

F00T3A3 H00T2A4 H00T3A3 H01T3A4 F02T1A1 H02T3A4
F03T1A3 F03T2A4 H03T1A3 H04T2A4 F05T3A1 H06T2A2
H06T2A3 H06T3A3 F07T2A4 F07T3A4 F07T3A5 F08T1A1
F08T3A3 H08T2A3 F09T2A4 H09T1A4 H09T2A4 F10T1A2
F11T1A1 F11T1A4 F11T3A3 H11T3A3 F12T2A4 H12T2A4
F13T3A5 H13T1A1 H13T3A2 H14T1A3 F15T1A4 F15T3A4
H15T2A4 H15T2A5 F16T1A5 F16T2A3 F16T2A4 F16T3A5
H16T2A4 F17T1A2 F17T2A4 H17T1A4 H17T3A4 H17T3A5

Bereich 10: Normale und separable Erweiterungen

(Zerfällungskörper, Charakterisierung normaler Erweiterungen, Nachweis der Normalität
in konkreten Beispielen, Satz vom primitiven Element, Separabilität von Polynomen,
von Körperelementen und -erweiterungen)

F00T2A3 F01T1A4 F01T3A1 F01T3A3 H01T1A4 H01T3A4
H02T1A3 H02T3A4 F03T1A4 F03T2A3 F03T2A4 F07T3A5
H07T1A5 H10T1A5 F11T3A3 F11T3A4 H11T2A4 F12T2A4
F13T2A5 F14T1A5 H15T2A5 F17T1A1

Bereich 11: Endliche Körper und Kreisteilungskörper

(Hier befinden sich alle Aufgaben zu diesen beiden Körpertypen, die keine Galoistheorie
erfordern, sofern die Aufgabe nicht auch dem Bereich 13 zugeordnet ist.)

F00T1A1 H00T1A3 H00T2A3 F01T2A4 H01T2A4 H01T2A5
F02T1A2 F02T2A3 H02T2A3 H02T3A2 H02T3A5 F03T3A2
H03T1A2 H03T1A3 H03T1A4 H03T2A3 H03T3A3 F04T1A5
F04T2A4 H04T2A5 F05T2A4 H05T1A4 H05T2A5 H06T3A4
F07T3A1 F07T3A2 F07T3A4 H07T2A4 F08T1A3 F08T1A4
F09T3A4 H10T3A5 F11T1A5 F13T1A2 F13T2A4 F13T3A5
H13T1A4 H13T2A1 H13T2A4 F15T2A5 H15T3A3 F17T3A5
H17T1A1 H17T1A2 H17T2A3

Bereich 12: Abstrakte Galoistheorie

(In diesen Aufgaben wird der Hauptsatz der Galoistheorie nur auf abstrakte Situationen
angewendet, aber nicht auf konkret vorgegebene Körpererweiterungen oder Polynome.
Die Aufgaben sind damit eher theoretischer Natur.)

H01T1A1 F03T1A4 H03T2A2 F04T1A3 F04T1A4 H04T3A4
F05T3A2 H05T3A4 F06T1A1 F06T2A4 F06T3A5 F06T3A6
H07T1A4 H07T2A5 H07T3A4 H08T2A3 F10T2A5 F12T2A4
F12T3A5 H12T2A4 H13T2A3 F14T1A2 H14T1A1 F15T1A5
F15T3A5 H16T1A5 F17T2A5 H17T2A5

Bereich 13: Bestimmung von Galoisgruppen

(In diesen Aufgaben wird die Galoistheorie auf konkrete Situationen angwendet. Dazu
gehören quadratische oder mehrfache quadratische Erweiterungen, Polynome vom Grad
3 und 4, Erweiterungen endlicher Körper, Kreisteilungserweiterungen, reine Gleichungen,
nicht-auflösbare Gleichungen und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.)

F00T1A4 F00T3A4 H00T1A4 H00T2A4 F01T1A4 F01T3A5
F02T2A5 F02T3A3 F02T3A4 H02T1A5 H02T2A4 F03T2A4
H03T1A3 H03T3A4 F04T2A3 F04T3A2 H04T1A4 H04T1A5
H04T2A5 H04T3A3 H04T3A5 F05T1A5 F05T2A5 F05T3A5
H05T2A4 H05T3A4 H06T1A3 F07T1A3 F07T2A5 H07T1A5
F08T3A4 H08T1A3 H08T2A4 H08T3A4 F09T3A4 H09T3A3
H09T3A4 F10T1A4 F10T3A5 H10T3A4 F11T2A4 F12T1A5
F12T3A2 H12T1A3 * H12T2A5 H12T3A3 H13T1A5 H13T3A1
H13T3A2 F14T2A4 F14T3A4 H14T1A1 H14T2A2 H14T3A5
F15T1A5 H15T1A4 H15T1A5 H15T2A5 H15T3A4 F16T3A5
H16T2A4 H16T3A5 F17T1A2 H17T2A4 H17T3A4

Zusatzmaterial:
Bereich 14: Lineare Algebra

(Bei diesen Aufgaben werden Kenntnisse aus der Linearen Algebra vorausgesetzt, vor
allem zu Eigenwerten und -vektoren, zur Diagonalisierbarkeit sowie zur Allgemeinen und
Speziellen Linearen Gruppe. Häufig werden diese mit dem Thema Gruppenoperationen
(Bereich 3) kombiniert.)

F00T2A4 H01T3A5 F03T3A3 H05T3A3 F07T1A2 H07T3A5
F08T2A2 H09T1A2 F10T2A2 H10T2A5 F11T1A1 H11T1A3
H11T2A3 H11T3A2 F12T1A1 F12T3A1 H12T1A1 H12T2A1
F13T1A3 F13T1A5 F13T2A2 H13T1A3 F14T1A4 H14T2A5
F15T1A1 H15T1A2 H15T3A3 F16T1A1 F16T2A5 F16T3A1
H16T1A2 H16T2A3 H16T3A1 F17T1A5 F17T3A1 F17T3A4 H17T2A1

Bereich 15: Zahlentheorie

(Hier stehen alle Aufgaben zur Zahlentheorie, die sich nicht in die Bereiche 5-8 zur Ring-
theorie einordnen lassen, unter anderem Aufgaben zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.)

H02T2A1 H05T1A1 F06T3A1 H09T1A1 H12T1A2


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