Department Mathematik
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Wintersemester 2019-20

Analysis mehrerer Variablen

(Mathematik III für LA Gym.)


Vorlesung: montags, 12:15-13:55 Uhr und donnerstags, 14:15-15:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: freitags 10:15-11:45 Uhr im Hörsaal B 138
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistent: Leonid Kolesnikov Sprechstunde: Di 11-12 Uhr
Klausurtermin:war am 22. Februar, 9:30-11:30 Uhr
Nachklausurtermin:Donnerstag, 16. April, 9:30-11:30 Uhr

Hinweis:
Wie im vorherigen Semester sind zur Klausur keine Hilfsmittel zugelassen, auch keine handgeschriebenen Notizen.
Vorlesungsskript:Stand 24. Januar, 156 Seiten (PDF)

Die folgende Checkliste kann zur Wiederholung des bisherigen Vorlesungsstoffs genutzt werden. Diese Liste wurde nun noch einmal aktualisiert.
Übungsblätter: können hier heruntergeladen werden
Übungsgruppen: Informationen zu Ihren Übungsgruppen finden Sie hier.
Vorlesungsverlauf:
DatumInhaltSkript
14.10.19euklidisches Standard-Skalarprodukt, Orthogonalprojektion und Cauchy-Schwarzsche Ungleichung3-7
17.10.19Längen und Winkel im Rn, allgemeine Bilinearformen7-13
21.10.19Darstellungsmatrix einer Bilinearform bezüglich einer Basis13-18
24.10.19ON-Basen und Orthogonalprojektionen auf Untervektorräume18-24
25.10.19Gram-Schmidt-Verfahren und Hurwitz-Kriterium24-27
28.10.19orthogonale und selbstadj. Matrizen, Hauptachsentransformation28-31
31.10.19p-Normen auf dem Rn, Äquivalenz von Normen31-36
04.11.19Konvergenz in metrischen Räumen36-40
07.11.19Cauchyfolgen und Banachscher Fixpunktsatz40-44
11.11.19Stetigkeit zwischen metrischen Räumen, Homöomorphismen44-50
14.11.19Polar-, Zylinder-, Kugelkoord., Stetigkeit linearer Abbildungen50-55
18.11.19offene Teilmengen metrischer Räume, Umgebungsbegriff55-61
21.11.19abgeschlossene Teilmengen, Intervallschachtelung61-64
25.11.19relative Offenheit und Abgeschlossenheit, Kompaktheitsbegriff64-69
28.11.19Satz von Heine-Borel, Maximumsprinzip, gleichm. Stetigkeit69-73
02.12.19zusammenhängende Teilm. metrischer Räume, Zwischenwertsatz74-79
05.12.19partielle Ableitungen und Richtungsableitungen79-84
09.12.19Satz von Schwarz, totale Differenzierbarkeit84-90
12.12.19Kriterium für totale Differenzierbarkeit, Jacobi-Matrix90-94
16.12.19Ableitungsregeln für mehrdimensionale Funktionen94-98
20.12.19höhere Ableitungen und mehrdimensionales Taylorpolynom98-107
23.12.19notwendige und hinreichende Kriterien für Extrema107-113(*1)
09.01.20Satz über die lokale Umkehrbarkeit114-117
13.01.20Satz über implizite Funktionen117-122
16.01.20Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Nebenbedingungen123-127
20.01.20Definition des Riemann-Integrals, Rechenregeln127-132
27.01.20Integrierbarkeit stetiger Funktionen, Satz von Fubini132-136
30.01.20Nullmengen, Jordansche Nullmengen, Oszillation einer Funktion136-141
03.02.20Lebesguesches Integrierbarkeitskrit., Def. des Jordan-Volumens141-147
07.02.20Regeln zur Jordan-Messbarkeit und zum Jordan-Volumen147-149
10.02.20Integration auf Jordan-messbaren Mengen149-155 (*2)
(*1) Der Anhang zu Kapitel 12 wurde nicht besprochen.
(*2) nicht mehr klausurrelevant
Inhalt: Im ersten Semester haben wir die Differential- und Integralrechnung von reellwertigen Funktionen auf Intervallen, also eindimensionalen Bereichen, kennengelernt. Für viele Anwendungen inner- und außerhalb der Mathematik ist es aber wünschenswert, dass Instrumentarium der Differential- und Integralrechnung auf Räumen beliebiger Dimension zur Verfügung zu haben. Innermathematische Anwendungsgebiete sind beispielsweise die Funktionentheorie und die Differentialgeometrie. Auch in der Physik, beispielsweise bei der Modellierung dreidimensionaler Bewegungen, wird zu einem großen Teil mit mehr­di­men­sio­na­len Funktionen gearbeitet.

Im einzelnen werden in der Vorlesung folgende Themen behandelt:
  • Skalarprodukte, Normen und Metriken
  • Konvergenz, Vollständigkeit, Banachscher Fixpunktsatz
  • topologische Grundbegriffe (Offenheit, Abgeschlossenheit, Stetigkeit)
  • partielle und totale Differenzierbarkeit, Differentiationsregeln
  • Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen
  • Einführung in die mehrdimensionale Integralrechnung
Literatur:
  • M. Barner, F. Flor, Analysis II. de Gruyter Lehrbuch.
  • O. Forster, Analysis 2. vieweg studium - Grundkurs Mathematik.
  • H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Teubner-Verlag.
  • K. Königsberger, Analysis 2. Springer-Verlag.

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