Department Mathematik
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Wintersemester 2019-20

Algebra (LA Gym.)


Vorlesung: montags, 10:15-11:55 Uhr und donnerstags, 12:15-13:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: donnerstags 16:15-17:45 Uhr im Raum B 006
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistent: Simon Weinzierl
Klausurtermin:war am 18. Februar 2020, 12:30-14:30 Uhr
Nachklausurtermin:Freitag, 17. April, 16:30-18:30 Uhr

Hinweis:
Auch zur Nachklausur sind keine Hilfsmittel zugelassen, insbesondere keine handgeschriebenen Notizen.
Vorlesungsskript:Teil I: Gruppentheorie (PDF)
Teil II: Körper- und Galoistheorie, 70 Seiten, Stand 11. Februar (PDF)

Die folgende Checkliste kann zur Wiederholung des bisherigen Vorlesungsstoffs in Algebra und Zahlentheorie genutzt werden. Diese Liste wurde nun noch einmal aktualisiert.

Hinweis:
Herr Weinzierl bietet am Donnerstag, den 13. Februar von 12:15-13:45 Uhr im Raum B 006 ein Repetitorium zur Klausurvorbereitung an.
Übungsblätter: können hier heruntergeladen werden
Übungsgruppen: Informationen zu Ihren Übungsgruppen finden Sie hier.
Vorlesungsverlauf:
DatumInhaltSkript
14.10.19Einführung; Halbgruppen und Monoide3-4
17.10.19Gruppen, Potenzgesetze, äußeres direktes Produkt4-7
21.10.19Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung, Untergruppen7-13
24.10.19erzeugte Untergruppen, zyklische Gruppen, Elementordnungen13-19
28.10.19Bestimmen von Elementordnungen, Lemma von Bezout19-23
31.10.19Untergruppen zyklischer Gruppen, Linksnebenklassen23-29
04.11.19Beweis des Satzes von Lagrange, Normalteiler29-34
07.11.19Komplexprodukte und innere direkte Produkte34-38
11.11.19Faktorgruppen und Homomorphiesatz, Anwendungen38-41
14.11.19Korrespondenzsatz und Isomorphiesätze41-44
18.11.19Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen41-51 (*1)
21.11.19äußeres semidirektes Produkt, Kommutatorgruppen52-57
25.11.19Auflösbarkeit von Gruppen, Begriff der Gruppenoperation57-61
28.11.19Bahnen und Stabilisatoren, Gruppenop. und Homomorphismen61-64
02.12.19Satz von Cayley, Klassengleichung, Auflösbarkeit von p-Gruppen64-68
05.12.19Beweis der Sylowsätze69-74
09.12.19Anwendung der Sylowsätze, Körpererweiterungen74-75, 3-6
12.12.19Definition des Erweiterungsgrades, Gradformel6-10
16.12.19algebraische und transzendente Elemente, Minimalpolynome11-14
19.12.19endliche und algebraische Körpererweiterungen14-18
23.12.19Fortsetzung von Körperhomomorphismen18-24 (*2)
09.01.20Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss25-30
13.01.20Eindeutigkeit der Zerfällungskörper, endliche Körper30-40 (*3)
16.01.20Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper40-45
20.01.20normale und separable Körpererweiterungen45-48
27.01.20Satz vom primitiven Element und Folgerungen48-52
30.01.20Beweis des Hauptsatzes der Galoistheorie52-55
03.02.20Anwendungsbeispiele zum Hauptsatz der Galoistheorie55-59
07.02.20Verschiebungssatz, Galoistheorie endlicher Körper59-63
11.02.20Galoistheorie von Kreisteilungserweiterungen, reine Gleichungen63-70 (*4)
(*1) In Kapitel 6 wurden die Beweise nur bis einschließlich (6.5) besprochen.
(*2) Der Anhang zu Kapitel 2 (quadratische Erweiterungen) wurde nicht behandelt.
(*3) Der Anhang zu Kapitel 4 (Zornsches Lemma) wurde nicht behandelt.
(*4) nicht mehr klausurrelevant
Inhalt: In der Schulmathematik versteht man unter "Algebra" im Wesentlichen das Lösen von Glei­chungen mit Unbekannten durch al­­ge­­brai­­sche Umformungen. Zugleich versteht man aber darunter ein Teilgebiet der reinen Mathematik, das der systematischen Untersuchung algebraischer Strukturen gewidmet ist, die sich im Laufe der Zeit für verschiedenste An­wen­dungen als nützlich herausgestellt haben. Im Rahmen der Vorlesung werden wir uns vor allem mit zwei solchen Strukturen beschäftigen: den Grup­pen und den Kör­pern. Die ebenfalls (auch im Hinblick auf das Staatsexamen) relevante Theorie der Ringe wird in der parallel stattfindenden Zahlentheorie-Vor­le­sung behandelt.

Ein Leitgedanke bei der Definition des Gruppenbegriffs ist das Prinzip, Struk­turen an­hand ihrer Sym­­me­­trie­­ei­gen­­schaf­­ten zu untersuchen. Dies ist zum Beispiel bei der Klassifikation geometrischer Objekte (etwa Polytope oder Kri­stall­struk­tu­ren) hilfreich; auch in der theo­re­ti­schen Physik spielen Symmetrien und damit auch Gruppen eine wichtige Rolle. In­ner­halb der Mathematik kommt den Gruppen als Grundbaustein komplexerer al­ge­brai­scher Struk­tu­ren eine wichtige Be­deu­tung zu. In der Körpertheorie werden wir uns in erster Linie mit sog. algebraischen Erweiterungen beschäftigen. Als Höhepunkt behandeln wir die sog. Galoistheorie, die Grup­pen- und Kör­per­theorie miteinander verbindet. Diese hat ihrerseits viele reizvolle Anwendungen, beispielsweise bei der Lösung algebraischer Gleichungen (Verallgemeinerungen der "Mitternachtsformel") und bei der Untersuchung geometrischer Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Literatur:
  • M. Artin, Algebra. Birkhäuser Advanced Texts.
  • J. Böhm, Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag.
  • S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag.
  • F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akad. Verlag.

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