Department Mathematik
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Wintersemester 2017/18

Algebra (LA Gym.)


Vorlesung: montags 10:15-11:55 Uhr, donnerstags 12:15-13:55 Uhr, jeweils im Hörsaal B 138
Globalübung: dienstags 12:15-13:45 Uhr im Hörsaal B 138
Klausurtermin:Donnerstag, 15. Februar, 13:30-15:30 Uhr
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann
Übungsassistent: Dominik Bullach
Vorlesungsskript:111 Seiten (PDF), Stand 15. Januar 2018

Diese Checkliste kann zur Wiederholung des bisherigen Vorlesungsstoffs genutzt werden.
Übungsblätter: können hier heruntergeladen werden
Übungsgruppen: Informationen zu Ihren Übungsgruppen finden Sie hier.
Vorlesungsverlauf:
DatumInhaltSkript
16.10.17Halbgruppen und Monoide2-4
19.10.17Gruppen, Homomorphismen, äußeres direktes Produkt5-8
23.10.17Automorphismengruppe einer Gruppe, Untergruppen8-12
24.10.17Erzeugendensysteme für Untergruppen12-15
26.10.17Ordnung von Gruppen und Gruppenelementen15-18
30.10.17Rechenregeln für Elementordnungen18-21
02.11.17Untergruppen zyklischer Gruppen, Nebenklassen einer Untergruppe
Hinweis:
Nicht behandelt wurden Satz (1.38) zur Automorphismengruppe zyklischer Gruppen sowie die vorgehenden Erläuterungen
21-26
06.11.17Beweis des Satzes von Lagrange26-30
09.11.17Normalteiler und innere direkte Produkte31-34
13.11.17Faktorgruppen und Homomorphiesatz34-38
16.11.17Korrespondenzsatz und Isomorphiesätze38-41
20.11.17endlich erzeugte abelsche Gruppen, semidirekte Produkte
Hinweis:
In Kapitel 3 wurden nur die Sätze (3.12), (3.15), (3.19) und das Beispiel auf Seite 56 unten besprochen, aber keine Beweise.
42-59
23.11.17Kommutatorgruppen und Auflösbarkeit59-63
27.11.17Beispiele für Gruppenoperationen, Bahnen, Fixpunkte63-66
30.11.17Satz von Cayley, Bahngleichung66-70
04.12.17Klassengleichung und Anwendung auf p-Gruppen71-75
07.12.17Beweis der Sylowsätze75-78
11.12.17Körpererweiterungen, Erweiterungsgrad, Gradformel79-82
14.12.17Algebraische Elemente und Minimalpolynome83-86
18.12.17Algebraische Erweiterungen und ihre Konstruktion87-90
21.12.17Fortsetzung von Homomorphismen auf algebraische Erweiterungen90-93
08.01.18Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss94-98
11.01.18Primkörper, endliche Körper als Zerfällungskörper98-102
14.01.18Eindeutigkeit und Existenz endlicher Körper, normale Erweiterungen102-106
Inhalt: In der Schulmathematik versteht man unter Algebra das Lösen von linearen oder quadratischen Gleichungen durch algebraische Umformungen. In der reinen Mathematik wird der Begriff all­ge­mei­ner verwendet; hier meint man die systematische Untersuchung gewisser Grund­strukturen, die sich im Laufe der Entwicklung für viele inner- und außermathematische Anwendungen als nützlich herausgestellt haben. Im Rahmen der Algebra-Vorlesung werden wir uns vor allem mit zwei sol­chen Strukturen beschäftigen: den Gruppen und den Körpern. Die ebenfalls (auch im Hinblick auf das Staatsexamen) relevante Ringtheorie wird in der parallel stattfindenden Zahlentheorie-Vor­le­sung behandelt.

Ein wesentlicher Grundgedanke der Gruppentheorie ist das Prinzip, mathematische Strukturen an­hand ihrer Symmetrieeigenschaften zu untersuchen. In der Geometrie beispielsweise lassen sich Polytope oder Pflasterungen anhand ihrer Symmetriegruppen (bestehend aus Drehungen und Spie­gelungen) klassifizieren. Aus heutiger Sicht kommt den Gruppen auch als Grundbaustein für komplexere algebraische Strukturen eine wichtige Bedeutung zu.

In der Körpertheorie werden wir uns in erster Linie mit den sog. algebraischen Erweiterungen beschäftigen, die man für das Studium algebraischer Gleichungen verwendet. Darauf aufbauend wird dann in der Galoistheorie das oben angesprochene Symmetrieprinzip verwendet, um die Struk­tur der algebraischen Erweiterungen mit Hilfe endlicher Gruppen zu analysieren. Dies er­mög­licht es u.a. zu entscheiden, ob die Lüsungen einer Polynomgleichung durch (verschachtelte) Wur­zeln ausgedrückt werden können.
Literatur:
  • M. Artin, Algebra. Birkhäuser Advanced Texts.
  • S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag.
  • W. Geyer, Algebra. Vorlesung Uni Erlangen-Nürnberg, WS 03/04.
  • F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akad. Verlag.
  • K. Meyberg, Algebra, Teil 1 und 2. Hanser-Verlag.
  • B. van der Waerden, Algebra. Springer-Verlag.

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