Innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt mein Interesse vor allem der
Untersuchung von stochastischen Modellen mit räumlicher Struktur. Dies sind
Modelle von Zufallsgrößen, die im Raum angeordnet sind und deren gegenseitige
stochastische Abhängigkeit durch ihre jeweilige Lage im Raum bestimmt ist.
Dazu gehören an erster Stelle die in der klassischen Statistischen Mechanik betrachteten Modelle realer Systeme, d.h. Systeme von zufälligen Spins auf einem Kristallgitter
(als Modell etwa für eine ferromagnetische Substanz) oder von Teilchen im
Kontinuum (als Modell für ein reales Gas). Wesentlich hierbei ist die räumliche
Wechselwirkung zwischen den Spins oder Teilchen, die z.B. für das Phänomen des
Phasenübergangs verantwortlich ist. Mit im Blickpunkt sind natürlich auch
verwandte Modelle und Fragen der zeitlichen Entwicklung solcher Systeme. Zwei
Themenkreise seien hier besonders hervorgehoben:
Das Phasenübergangsproblem
| Mathematisch umgesetzt wird dies in ein Problem der Mehrdeutigkeit für die sogenannten Gibbsmaße, welche die Gleichgewichtszustände physikalischer Systeme modellieren. Bemerkenswerterweise kann das Auftreten eines Phasenübergangs in vielen Fällen zurückgeführt werden auf die Existenz unendlich großer Cluster in gewissen Perkolationsmodellen, d.h. in geeignet definierten zufälligen Graphen. Dieser Zusammenhang, der bei Gittermodellen schon länger bekannt ist, bestätigt sich auch bei dem sehr viel schwierigeren Problem des Phasenübergangs für Teilchensysteme im Kontinuum. Mehr darüber findet sich
hier.
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Continuum
Ising Model |
Die "Theorie großer Abweichungen"
Diese beschäftigt sich mit der präzisen
Größenordnung sehr kleiner Wahrscheinlichkeiten. Angewandt auf Gibbsmaße,
erlaubt sie befriedigende Antworten auf einige klassische Fragen der Statistischen
Mechanik wie z.B. die Existenz des Drucks im thermodynamischen Limes, das
Variationsprinzip zur Charakterisierung der Gleichgewichtszustände, und das
Problem der "Äquivalenz der Ensembles" im thermodynamischen Limes, bei dem es
um die Gleichwertigkeit verschiedener mathematischer Beschreibungen von
Gleichgewichtszuständen geht.
