Einführung in die Zahlentheorie

Vorlesung von O. Forster im SS 2017
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi, Fri 14-16, HS A027, Theresienstr. 39

Übungen Mi 16-18 (A027)    Klausurergebnisse

Eine Nachklausur findet voraussichtlich am 20. Okt. 2017, 14hct, statt.
Genaueres wird noch bekannt gegeben.


Beschreibung

Nach Gauß ist die Mathematik die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.
Ziel der Vorlesung ist eine Einführung in dieses Gebiet.

Ein besonderes Interesse gilt dabei den Primzahlen: Primfaktorzerlegung, Primzahltests, Primitivwurzeln modulo Primzahlen und Primzahl-Potenzen, quadratische Reste, Gaußsches Reziprozitätsgesetz. Abschätzungen zur Verteilung der Primzahlen, Bertrandsches Postulat, Satz von Dirichlet über die Primzahlen in arithmetischen Progressionen, Zerlegungs-Verhalten von Primzahlen in quadratischen Erweiterungen.

Weitere Stichpunkte: Arithmetische Funktionen, Dirichlet-Faltung, Möbiussche Umkehrformeln, Diophantische Gleichungen, Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, Drei-Quadrate-Satz von Gauß.

In den letzten Jahrzehnten ist die Zahlentheorie für die moderne Kryptographie unentbehrlich geworden. Deshalb gehen wir auch kurz auf die zahltentheoretischen Grundlagen der Public Key Kryptographie ein.

Vorkenntnisse
Anfänger-Vorlesungen in Analysis und Linearer Algebra.

Für
Hauptsächlich für Bachelor-Studenten in Mathematik;
Anrechnung z.B. nach der Bachelor-Prüfungsordnung Mathematik (2015) als WP 20.

Gliederung

  1. Teilbarkeit, Primfaktor-Zerlegung
  2. Irreduzibilität und Primalität in Integritäsbereichen
  3. Kongruenzen
  4. Arithmetische Funktionen
  5. Elementare Abschätzungen zur Primzahl-Verteilung
  6. Primitivwurzeln
  7. Quadratische Reste, Reziprozitätsgesetz
  8. Primzahltests
  9. Anwendungen in der Kryptographie
  10. Summen von zwei und vier Quadraten
  11. Primzahlen in arithmetischen Progressionen
  12. Legendre-Gleichung und Drei-Quadrate-Satz von Gauß

Literatur


Otto Forster (email), 2017-02-07