Funktionentheorie

Vorlesung (4std.) mit Übungen (2std.)
von Otto Forster
am Mathematischen Institut, LMU München
Theresienstr. 39

Sommer-Semester 2015,
Mo, Do 14-16,   Raum B006

Übungen

Beschreibung:
Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, das sind Funktionen, die sich um jeden Punkt ihres Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Die meisten in den Anwendungen vorkommenden Funktionen sind analytisch, jedoch werden sie dort oft nur als Funktionen einer reellen Veränderlichen gebraucht. Viele Eigenschaften einer analytischen Funktion werden jedoch erst verständlich, wenn man sie als Funktion eines komplexen Arguments betrachtet.
Einige Stichpunkte:
Konvergenz von Potenzreihen, Identitätssatz, Komplexe Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, Kurvenintegrale, Cauchyscher Integralsatz, Maximumprinzip, einfacher Zusammenhang, Logarithmus, Wurzeln, isolierte Singularitäten, Auswertung von Integralen mittels Residuensatz, holomorphe Transformationen.
Die Vorlesung gibt eine Einführung in diese schöne, reichhaltige und nützliche Theorie.

Vorkenntnisse: Analysis 1,2, Lineare Algebra

Inhalt:

  1. Potenzreihen
  2. Diskussion einiger elementarer Funktionen
  3. Taylor- und Laurent-Entwicklung komplex differenzierbarer Funktionen
  4. Cauchysche Koeffizienten-Abschätzungen, Mittelwertsatz, Maximumprinzip
  5. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
  6. Integration von Differentialformen
  7. Residuen-Kalkül
  8. Homotopie, einfacher Zusammenhang
  9. Holomorphe Transformationen  

Literatur


Otto Forster (email), 2015-01-21