Dirichletreihen und Zetafunktionen

Vorlesung von O. Forster im WS 2014/15
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi, Fr 14-16, HS A027, Theresienstr. 39

mit 2std. Übungen Mo 14-16 (A027)

Beschreibung
(Dies ist eine Vorlesung Funktionentheorie II und gleichzeitig eine Einführung in die Analytische Zahlentheorie)
Dirichletreihen sind Reihen der Gestalt
  f(s) = \sum {a_n/n^s: n >= 1}
wobei s eine komplexe Variable ist. Im Gegensatz zu Potenzreihen, deren Konvergenzgebiete Kreise sind, konvergieren Dirichletreihen in Halbebenen der Gestalt Re(s) > c. Die bekannteste Dirichletreihe ist die Riemannsche Zetafunktion, bei der alle Koeffizienten a_n = 1 sind. Sie konvergiert in der Halbebene Re(s) > 1. Bereits Euler stellte einen Zusammenhang zur Zahlentheorie her, indem er zeigte, dass die Divergenz der Zetareihe für s = 1 (harmonische Reihe) impliziert, dass die Summe der reziproken Primzahlen 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... ebenfalls divergiert. Dirichlet benutzte die nach ihm benannten Reihen, um den Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen zu beweisen (z.B. gibt es asymptotisch etwa gleich viele Primzahlen der Form 4n+1 und 4n+3). Riemann zeigte, dass man die Zetafunktion holomorph in die ganze komplexe Ebene bis auf einen Pol an der Stelle s=1 fortsetzen kann und bewies (mithilfe der Gamma- und Thetafunktion) eine Funktionalgleichung der Zetafunktion, die eine gewisse Symmetrie um den Punkt s=1/2 ausdrückt. Dabei stellte er die berühmte, bis heute unbewiesene Vermutung auf, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der Geraden Re(s)=1/2 liegen. Diese Vermutung hängt eng mit Eigenschaften der Primzahlverteilung zusammen. Außer der Riemannschen Zetafunktion behandeln wir in der Vorlesung noch die Dedekindschen Zetafunktionen für quadratische Zahlkörper, das sind Körper, die aus den rationalen Zahlen durch Adjunktion der Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl entstehen.

Literatur


Otto Forster (email), 2015-07-07