Algebraische Zahlentheorie

Vorlesung von O. Forster im SS 2014
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi, Fr 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
mit 2-std. Übungen

Beschreibung

In dieser Vorlesung geht es hauptsächlich um algebraische Zahlkörper (d.h. endliche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen) und die Ringe der ganz-algebraischen Zahlen in diesen Zahlkörpern. Diese sind in mancher Hinsicht analog zum Ring Z der ganzen Zahlen; es treten aber auch neue Phänomene auf: Z.B. bleibt eine Primzahl aus Z nicht mehr notwendig prim, wenn man in die algebraische Erweiterung übergeht; nicht mehr jedes Ideal ist ein Hauptideal und der Satz über die Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktor-Zerlegung gilt nur mehr, wenn man ihn für Ideale formuliert.
In der Vorlesung behandeln wir neben der allgemeinen Theorie relativ ausführlich als Beispiele die quadratischen Zahlkörper und die Kreisteilungskörper, in denen man viele allgemeine Phänomene explizit beschreiben kann.
Weitere Stichpunkte: Gitterpunkt-Theorie von Minkowski, Endlichkeit der Klassenzahl, Dirichletscher Einheitensatz, Dedekind-Ringe, Lokalisierung, Divisoren. Wir gehen auch auf die Analogien zwischen algebraischen Erweiterungen von Zahlkörpern und Überlagerungen von algebraischen Kurven ein.

Für: Master-Studenten in Mathematik (oder Wirtschaftsmathematik)

Vorkenntnisse: Algebra (einschließlich Galois-Theorie)

Leistungsnachweis: Gilt für Master Mathematik (WP11), Master Wirtschaftsmathematik (WP58), jeweils 9 ECTS-Punkte.

Inhalt    (Zu einigen der Paragraphen gibt es eine Ausarbeitung)
  1. Funktionentheoretische Sichtweise der ganzen und der rationalen Zahlen    (pdf)
  2. Ganz-algebraische Erweiterungen. Überlagerungen    (pdf)
  3. Quadratische Zahlkörper    (pdf)
  4. Norm-euklidische quadratische Zahlkörper    (pdf)
  5. Kettenbrüche und Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper
  6. Idealklassen quadratischer Zahlkörper
  7. Diskriminante und Ganzheitsbasen algebraischer Zahlkörper
  8. Kreisteilungs-Körper
  9. Dedekindringe
  10. Minkowskische Gitterpunkt-Theorie    (pdf)
Ergänzung: Beweis des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes    (pdf)
(aus einer Vorlesung "Einführung in die Zahlentheorie" im SS 2004)

Literatur


Otto Forster (email), 2014-01-24