Riemann Surfaces

Vorlesung von O. Forster im WS 2012/13
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi, Fr 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
Übungen Mi 16-18 (A027) oder Fr 12-14 (B252)

Übungen, Problem sheets

Beschreibung
Die Riemannschen Flächen sind aus dem Bedürfnis heraus entstanden, mehrdeutige analytische Funktionen, wie Wurzel und Logarithmus, adäquat zu behandeln. Die Riemannschen Flächen sind die natürlichen Definitionsbereiche solcher Funktionen. Ebenso führen Algebraische Kurven, wenn man sie über dem Körper der komplexen Zahlen behandelt, auf Riemannsche Flächen. Die Vorlesung gibt eine Einführung in diese Theorie, wobei insbesondere kompakte Riemannsche Flächen behandelt werden. Einige Stichworte: Holomorphe und meromorphe Funktionen. Verzweigte und unverzweigte Überlagerungen. Integration von Differentialformen, Perioden. Abelsche Differentiale. Cohomologiegruppen. Satz von Riemann-Roch, Abelsches Theorem.

The course will be given in English

für: Studierende der Mathematik und Theoretischen Physik im Hauptstudium
mit Interesse in Funktionentheorie, Algebraischer Geometrie oder Differentialgeometrie.

Vorkenntnisse: Vorlesung Funktionentheorie I.
Nützlich sind auch Grundkenntnisse aus Topologie und Differentialgeometrie.

Leistungsnachweis: Gilt für Masterstudiengang Mathematik (WP36 oder WP37), Masterstudiengang TMP, sowie Diplomstudiengang Mathematik (Reine Mathematik)

Contents:

  1. Definition of Riemann surfaces
  2. Elementary properties of holomorphic maps
  3. Branched and unbranched coverings
  4. Riemann surfaces of algebraic functions
  5. Differential forms
  6. Sheaves, cohomology groups
  7. Theorem of Riemann-Roch
  8. The Serre Duality Theorem
  9. Harmonic Differential Forms
  10. Abel's Theorem
  11. Jacobi Inversion Problem

Literature:

  1. S. Donaldson: Riemann surfaces. Oxford Univ. Press.
  2. Farkas/Kra: Riemann Surfaces. Springer Verlag
  3. O. Forster: Lectures on Riemann Surfaces. Springer Verlag
  4. Gunning: Lectures on Riemann Surfaces. Mathematical Notes. Princeton University Press

Otto Forster (email), 2012-09-22