Analytische Zahlentheorie

Vorlesung (4std.) mit Übungen (2std.)
von Otto Forster
am Mathematischen Institut, LMU München
Theresienstr. 39

Sommer-Semester 2011,
Mi, Fr 14-16,   HS A027
Beginn: Mittwoch, 4. Mai 2011

Übungen Mi 16-18, HS B047

Beschreibung:
In der analytischen Zahlentheorie werden Methoden aus der Funktionentheorie zur Lösung von zahlentheoretischen Problemen, insbesondere über die Verteilung von Primzahlen, angewandt. Haupt-Hilfsmittel sind die Riemannsche Zetafunktion und sog. Dirichlet-Reihen.
In der Vorlesung beweisen wir u.a. den Primzahlsatz, der besagt, dass die Anzahl der Primzahlen kleiner-gleich X asymptotisch gleich X/log(X) ist und gehen auf die Bedeutung der bis heute unbewiesenen Riemannschen Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion ein.
Ein weiteres Thema ist der Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen. (Ein Spezialfall davon ist die Aussage, dass es asymptotisch gleich viele Primzahlen der Form 4n+1 und 4n+3 gibt.)
Außerdem behandeln wir die Zetafunktion algebraischer Zahlkörper, insbesondere quadratischer Zahlkörper.

Vorkenntnisse: Grundkenntnisse aus Funktionentheorie und Algebra

Für: Studierende der Mathematik im Hauptstudium (Diplom, Master)

Inhalt:

  1. Riemannsche Zetafunktion und Euler-Produkt
  2. Primzeta-Funktion. Summe der reziproken Primzahlen    (pdf)
  3. Allgemeine Sätze über Dirichlet-Reihen
  4. Arithmetische Funktionen
  5. Äquivalenzen zum Primzahlsatz    (pdf)
  6. Beweis des Primzahlsatzes    (pdf)
  7. Die Funktionalgleichung der Zetafunktion    (pdf)
  8. Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung    (pdf)
  9. Abschätzungen in vertikaler Richtung    (pdf)
  10. Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung    (pdf)
  11. Gruppen-Charaktere. Dirichletsche L-Reihen
  12. Primzahlen in arithmetischen Progressionen
  13. Quadratische Zahlkörper
  14. Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers

Literatur


Otto Forster (email), 2011-03-20