Elliptische Funktionen und Elliptische Kurven

Vorlesung von O. Forster im WS 2010/11
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
Beginn: 20. Okt. 2010

Übungen dazu 14-tägl. Fr 14-16, A027

Beschreibung
Elliptische Funktionen sind analytische doppeltperiodische Funktionen in der komplexen Ebene. Sie entstanden historisch als Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale (die bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen). Elliptische Funktionen lassen sich auffassen als Funktionen auf Tori (das sind Riemannsche Flächen, die als Quotient der komplexen Zahlenebene nach einem Gitter entstehen). Diese Tori sind wiederum isomorph zu elliptischen Kurven, die durch eine Gleichung 3. Grades in der projektiven Ebene definiert werden, und die nicht nur über dem Körper der komplexen Zahlen, sondern auch über anderen (z.B. endlichen) Körpern betrachtet werden können.
Die Theorie der elliptischen Funktionen und Kurven ist ein klassischer Gegenstand der Funktionentheorie und hat viele Verbindungen zur Zahlentheorie. In neuerer Zeit hat diese Theorie wieder verstärktes Interesse gefunden, da sie u.a. beim Beweis der Fermatschen Vermutung eine große Rolle spielt. Auch in der algorithmischen Zahlentheorie und Kryptographie werden elliptische Kurven verwendet. Die Vorlesung soll eine Einführung in diese interessante Theorie geben.

für: Studentinnen und Studenten der Mathematik im Hauptstudium

Vorkenntnisse: Funktionentheorie; auch Grundkenntnisse aus der Algebra sind nützlich

Inhalt:

  1. Die Liouvilleschen Sätze über doppelt-periodische Funktionen
  2. Die Weierstraßsche Pe-Funktion
  3. Der Körper der elliptischen Funktionen
  4. Elliptische Kurven
  5. Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven; Abelsches Theorem
  6. Die Modulgruppe
  7. Modulfunktionen und Modulformen
  8. Die absolute Modulfunktion
  9. Fourier-Entwicklung von Modulfunktionen
  10. Komplexe Multiplikation

Literatur:


Otto Forster (email), 2010-09-27