Funktionentheorie

Sommer-Semester 2010,
Mi, Fr 14-16,   Raum C123
Beginn: Mittwoch, 21. April 2010

Übungen in Gruppen

Beschreibung:
Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, das sind Funktionen, die sich um jeden Punkt ihres Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickeln lassen. Die meisten in den Anwendungen vorkommenden Funktionen sind analytisch, jedoch werden sie dort oft nur als Funktionen einer reellen Veränderlichen gebraucht. Viele Eigenschaften einer analytischen Funktion werden jedoch erst verständlich, wenn man sie als Funktion eines komplexen Arguments betrachtet.
Einige Stichpunkte:
Konvergenz von Potenzreihen, Identitätssatz, Komplexe Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, Kurvenintegrale, Cauchyscher Integralsatz, Maximumprinzip, einfacher Zusammenhang, Logarithmus, Wurzeln, isolierte Singularitäten, Residuensatz, Mittag-Lefflerscher Teilbruchsatz, Weierstrassscher Produktsatz, holomorphe Transformationen
Die Vorlesung gibt eine Einführung in diese schöne, reichhaltige und nützliche Theorie.

Vorkenntnisse: Analysis 1-3

Inhalt:

1. Potenzreihen
2. Einige elementare transzendente Funktionen
3. Mittelwert-Eigenschaft, Cauchysche Koeffizienten-Abschätzungen
4. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
5. Kurvenintegrale
6. Integralsatz und Integralformeln von Cauchy
7. Einfacher Zusammenhang, Logarithmus und Wurzeln
8. Laurent-Entwicklung, isolierte Singularitäten
9. Der Residuensatz und Anwendungen
10. Die Riemannsche Zahlenkugel
11. Holomorphe Transformationen
12. Partialbruch-Zerlegungen und Produkt-Entwicklungen  

Literatur

• Fischer/Lieb: Einführung in die Komplexe Analysis. Vieweg-Verlag
• Freitag/Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag
• K. Jänich: Funktionentheorie. Springer-Verlag
• S. Lang: Complex Analysis. Addison-Wesley
• F. Lorenz: Funktionentheorie. Spektrum Akad. Verlag
• Remmert/Schumacher: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag

Otto Forster (), 2010-02-26