Die Riemannsche Zetafunktion

Eine Einführung in die analytische Zahlentheorie

Vorlesung von O. Forster im WS 2008/09
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi 14-16, HS A027, Theresienstr. 39

Übungen dazu 14-tägl. Fr 14-16, A027

Beschreibung
Im Jahre 1859 veröffentlichte B. Riemann seine bahnbrechende Arbeit ``Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse''. Die Arbeit handelt von der Zetafunktion und ihrer Verbindung mit der Funktion pi(x), welche die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x angibt. Die Zetafunktion ist zunächst definiert als unendliche Summe von 1/n^s über alle natürlichen Zahlen n. Die Reihe konvergiert für reelle s größer als 1. Riemann betrachtet die Funktion auch für komplexes s und zeigt, dass sie sich analytisch in die ganze komplexe Ebene fortsetzen lässt mit einem einzigen Pol erster Ordnung an der Stelle s=1. Außerdem beweist Riemann eine Funktionalgleichung für die Zetafunktion und stellt die Vermutung auf, dass alle nicht-reellen Nullstellen von zeta(s) den Realteil 1/2 haben. Dies wurde zwar numerisch für mehr als eine Milliarde Nullstellen bestätigt, trotzdem ist die Riemannsche Vermutung (die auch zu den Milleniums-Problemen zählt) bis heute unbewiesen. In dieser Vorlesung (zum 150. Jahrestag der Riemannschen Vermutung) stellen wir die Zetafunktion vor, beweisen mit ihrer Hilfe den Primzahlsatz, dass pi(x) asymptotisch gleich x/log(x) ist und besprechen einige Folgerungen und Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung.

für: Studentinnen und Studenten der Mathematik im Hauptstudium

Vorkenntnisse: Elemente der Funktionentheorie (bis zum Residuensatz).
Grundkenntnisse aus der elementaren Zahlentheorie sind nützlich, aber nicht unbedingt erforderlich.

Schein gilt als halber Übungsschein für Hauptdiplom, Reine Mathematik

Vorlesungs-Skript:

Die Kapitel 1-2 und 6-10 wurden von Andreas Wadhwa ausgearbeitet.

  1. Zeta-Funktion. Euler-Produkt    (pdf)
  2. Dirichlet-Reihen und arithmetische Funktionen    (pdf)
  3. Euler-Mascheronische Konstante und Dirichletscher Teilersatz    (ps)    (pdf)
  4. Äquivalenzen zum Primzahlsatz    (ps)    (pdf)
  5. Beweis des Primzahlsatzes    (ps)    (pdf)
  6. Die Gamma-Funktion    (pdf)
  7. Funktionalgleichung der Zeta-Funktion    (pdf)
  8. Die Nullstellen der Zeta-Funktion    (pdf)
  9. Die Lindelöfsche Vermutung    (pdf)
  10. Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung    (pdf)

Literatur:
T. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer 1976
J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer 1995
H.M. Edwards: Riemann's Zeta Function. Academic Press 1974. Nachdruck Dover
Hlawka/Schoißengeier/Taschner: Geometric and Analytic Number Theory. Springer 1991
A. Ivic: The Riemann Zeta-Function. Wiley 1985
S.J. Patterson: An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge UP 1988
K. Prachar: Primzahlverteilung. Springer 1957.
E.C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford UP, 2nd ed. 1986
Otto Forster (email), 2008-10-20