Forster: Algebraic Number Theory (Zahlentheorie II)

4std. Vorlesung mit 2 std. Übungen von O. Forster
Winter-Semester 2004/05, Mathematisches Institut, LMU München

On demand this course will be held in English

Zeit und Ort: Di, Do 14-16, Hörsaal E6,   Beginn: 19. Okt. 2004

Problem sessions (Thursday 11-13, E5)

Contents: In this course we study algebraic number fields (finite algebraic extensions of the field Q of rational numbers) und the rings of algebraic integers in these fields. These rings are in many respects analogous to the ring Z of ordinary integers; however some new phenomena appear: For example, it is not true that every ideal is principal and the theorem on unique prime factorization is valid only for ideals, not for numbers. We begin with the study of quadratic number fields and cyclotomomic fields which are constructed by adjoining a root of unity to the field Q. For these special fields much can be done more elementary and explicitly and we gain example material for the general case. Two of the main theorems which will be proved is the finiteness of the class number and Dirichlet's theorem on the structure of the group of units. We will also study the analogies between algebraic number fields and algebraic curves.

Beschreibung: In dieser Vorlesung geht es um Algebraische Zahlentheorie, d.h. um algebraische Zahlkörper (endliche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen) und die Ringe der ganz-algebraischen Zahlen in diesen Zahlkörpern. Diese sind in mancher Hinsicht analog zum Ring der ganzen Zahlen; es treten aber auch neue Phänomene auf; z.B. ist nicht mehr jedes Ideal ein Hauptideal und der Satz über die Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktor-Zerlegung gilt nur mehr, wenn man ihn für Ideale formuliert. Wir beginnen zunächst mit den quadratischen Zahlkörpern und Kreisteilungskörpern, die aus dem Körper der rationalen Zahlen durch Adjunktion einer Quadratwurzel bzw. einer Einheitswurzel entstehen. In diesen Fällen kann man vieles noch relativ explizit und elementar durchführen und man erhält Anschauungsmaterial für die allgemeine Theorie, die anschließend behandelt wird. Es wird u.a. die Endlichkeit der Klassenzahl und der Dirichletsche Einheitensatz bewiesen. Wir gehen auch auf die Analogien zwischen algebraischen Erweiterungen von Zahlkörpern und Überlagerungen von algebraischen Kurven ein.

Vorkenntnisse: Grundkenntnisse in Zahlentheorie und Algebra. Die Vorlesung ist weitgehend unabhängig vom ersten Teil (Einführung in die Zahlentheorie, SS 2004)

Für: Studierende der Mathematik im Hauptstudium, Master Students

Literatur

  1. Ireland-Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer
  2. Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer
  3. Marcus: Number Fields. Springer
  4. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer. (Also available in English)
  5. Ribenboim: Classical Theory of Algebraic Numbers. Springer
  6. Samuel: Théorie algébrique des nombres. Hermann


Otto Forster (email), 2004-07-18