Fourier-Transformation und Wavelets

Vorlesung von O. Forster und J. Wehler im WS 2000/01
am Mathematischen Institut der LMU München

Mo, Do 11-13, HS 138, Theresienstr. 39

Die Übungen dazu wurden betreut von B. Emmer.

Beschreibung
Fourier-Transformation ist die klassische Methode zur Zerlegung eines Signals in seine einzelnen Frequenzen und die anschließende Rekonstruktion aus dem Frequenzspektrum. Die Fourier-Transformation spielt eine wichtige Rolle in vielen Gebieten der Mathematik, der Physik und in ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen. Für letztere ist insbesondere die "Schnelle Fourier-Transformation", eine effiziente numerische Implementierung, wichtig. Auch bei den Algorithmen des Quanten-Computing ist die schnelle Fourier-Transformation ein entscheidendes Hilfsmittel.
Daneben ist der Fourier-Transformation ein Konkurrent erwachsen in der Wavelet-Transformation. Wavelets liefern ein mathematisches Verfahren, das aufgrund der zeitlichen Lokalisierung des Frequenzspektrums eine bessere Auflösung bei der Rekonstruktion des Signals ergibt. Hierzu werden die Signale mit zeitlich lokalisierten "kleinen Wellen" (Wavelets) gescannt, statt mit den unendlich ausgedehnten Sinus- oder Cosinus-Schwingungen der Fourier-Transformation.
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Mathematik beider Arten von Transformationen bis hin zur praktischen Anwendung in der Bildkompression (JPEG und JPEG2000).

für: Studentinnen und Studenten der Mathematik, Physik, Informatik ab dem 5. Semester

Vorkenntnisse: Lineare Algebra und Analysis; Kenntnis der Lebesgueschen Integrationstheorie ist nützlich.

Schein gilt für Hauptdiplom, Angewandte Mathematik

Literatur:


Inhalt
  1. Hilbert-Räume
  2. Fourier-Reihen
  3. Fourier-Integrale
  4. Distrubutionen
  5. Faltung und Fourier-Transformation
  6. Kontinuierliche Wavelet-Transformation
  7. Das Gibbssche Phänomen
  8. Diskrete Fourier-Transformation, Schnelle Fourier-Transformation
  9. Die Rolle der Fourier-Transformation beim Quanten-Computing
  10. Wavelet-Frame
  11. Multi-Skalen-Analyse
  12. Schnelle Wavelet-Transformation
  13. Bildkompression

Otto Forster (email), 2000-07-12/2001-05-07