Zahlentheorie II

Vorlesung von O. Forster im WS 1997/98
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi, Fr 11-13, HS E6, Theresienstr. 39

Die Übungen dazu wurden betreut von Tanja Zimmermann.

Die Vorlesung handelt hauptsächlich von der Theorie der Algebraischen Zahlen und Zahlkörper. Algebraische Zahlkörper sind endliche Erweiterungen des Körpers Q der rationalen Zahlen. Einfache (und wichtige) Beispiele dafür sind die quadratischen Zahlkörper (sie entstehen durch Adjunktion der Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl) und Kreisteilungskörper (sie entstehen durch Adjunktion einer Einheitswurzel). Besonderes Interesse beansprucht jeweils der Unterring der ganzen algebraischen Zahlen. Dieser Ring ist i.a. kein Hauptidealring und nicht faktoriell; als Ersatz hat man eine Zerlegung von Idealen als Produkt von Primidealen. Die ganzen algebraischen Zahlen lassen sich durch ein Gitter in einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum veranschaulichen und die von Minkowski begründete sog. Geometrie der Zahlen ist ein wichtiges Hilfsmittel der Theorie. Ein anderes Hilfsmittel sind die lokalen Ringe und Körper. Damit wird auch eine interessante Verbindung zur algebraischen Geometrie hergestellt.

Vorkenntnisse: Zahlentheorie I, Algebra I.

Schein: Gilt für Diplomhauptprüfung (RM)

Literatur
Fröhlich-Taylor: Algebraic Number Theory. Cambridge UP
Ireland-Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer
S. Lang: Algebraic Number Theory. Addison-Wesley
Leutbecher: Zahlentheorie. Springer
Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI Mannheim
Marcus: Algebraic Number Fields. Springer
Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer
Ribenboim: Algebraic Numbers. Wiley-Interscience
Samuel: Théorie algébrique des nombres. Hermann
Serre: Cours d'arithmétique. PUF


Inhalt der Vorlesung

1. Primärzerlegung in Noetherschen Ringen
2. Spektrum, Lokalisierung
3. Ganz-algebraische Erweiterungen
4. Endliche Körper-Erweiterungen
5. Quadratische Zahlkörper
6. Diskrete Bewertungsringe
7. Primfaktor-Zerlegung von Idealen in Dedekind-Ringen
8. Gitter
9. Endlichkeit der Klassengruppe
10. Der Dirichletsche Einheitensatz
11. Verzweigungs- und Trägheits-Index

Vorlesung Zahlentheorie I (SS 1997)


Otto Forster (email), 97-07-24