Numerische Resultate

W. Bley

Institut für Mathematik der Universität Augsburg, Universitätsstr. 8, D-86159 Augsburg, Deutschland

26. Juni 1996

Diese Arbeit stellt eine Ergänzung zu [Bl2] dar und beinhaltet eine ausführliche Beschreibung der dort erwähnten numerischen Resultate. Die verwendeten Algorithmen sind in [Bl,Bu], [Bl1] und [Bl2] ausführlich beschrieben, so daß wir uns hier auf die Implementation der Verfahren, sowie die Darstellung der numerischen Resultate konzentrieren wollen. Die Auswahl der berechneten Beispiele ist durch die Arbeit [Bu] von David Burns motiviert. Der interessierte Leser sei hierauf verwiesen, sowie auf die umfangreiche Literatur, die in der Einleitung zu [Bu] zitiert wird. Im folgenden sei stets K = Q(\sqrt{−1}). Für ein ganzes Ideal 𝔣 in K bezeichne K(𝔣) den Strahlklassenkörper zum Führer 𝔣. Falls 𝔣 eine Potenz des Primideals 3O_{K}ist, so verzweigt 3O_{K} voll in K(𝔣)/K und wir bezeichnen in dieser Situation für jeden Zwischenkörper K(𝔣)/F/K das eindeutige Primideal über der 3 mit 𝔭_{F}. Weiterhin übernehmen wir die sämtliche Notationen aus [Bl2].

Beispiel 1: Die Erweiterung K(9)/K ist vom Grad 18 und wir bezeichnen mit L ⊆ K(9) den eindeutigen Zwischenkörper mit zu C_{3} × C_{3} isomorpher Galoisgruppe G = G(L/K). Aus [Bu], Lemma 2.5 und Proposition 1.8 folgt zusammen mit den numersichen Resultaten aus [Bl,Bu], daß die G-stabilen Ideale O_{L}, 𝔭_{L}, 𝔭_{L}^{8} lokal frei über ihren jeweiligen assoziierten Ordnungen in K[G] sind. Wie unsere numerischen Betrachtungen zeigen werden, sind diese Ideale auch global frei. Man beachte insbesondere, daß 𝔭_{L} isomorph zur Quadratwurzel der inversen Differente von L/K ist (siehe [Er,Ta]).

Beispiel 2: Die Galoisgruppe der Erweiterung K(27)/K ist vom Typ C_{2} ×C_{9} ×C_{9}. Es sei L der Fixkörper zu derjenigen Untergruppe, die von der C_{2} und dem Frobeniusautomorphismus zu 10 erzeugt wird. Dann ist G = G(L/K) nicht-zyklisch von der Ordnung 27 und voll verzweigt über der 3. Theoretische Überlegungen zeigen, daß unter den Idealen 𝔭_{L}^{i}, i = 0, …, 26, höchstens die 𝔭_{L}^{i} mit i ∈ {8, 9, 10} lokal frei über ihren assoziierten Ordnungen sind. Die expliziete Bestimmung von A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) und A_{K}(𝔭_{L}^{i}) ermöglicht nun die Berechnung der Indizes [A_{θ}(𝔭_{L}^{i})M_{K[G]} : A_{θ}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}} und [M_{K[G]} : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}}, wobei θ ∈ 𝔭_{L}^{i} jeweils ein Normalbasiselement für L über K[G] ist. Nach einem Resultat von Fröhlich ([Fr], Th. 4) ist A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) (und damit 𝔭_{L}^{i}) dann und nur dann lokal frei über A_{K}(𝔭_{L}^{i}), wenn diese Indizes übereinstimmen. Die numerischen Berechnungen zeigen nun, daß 𝔭_{L}^{i} für i ∈ {8, 9, 10} tatsächlich lokal frei ist. Dies zeigt insbesondere, daß in [Bu], Th.1.3(i), der Grundkörper Q_{p} nicht durch eine beliebige unverzweigte Erweiterung E/Q_{p} ersetzt werden kann (siehe auch [Bu], Remark 2.15).

Ein großer Teil der Implementation befaßt sich ausschließlich mit der Bereitstellung der Eingabedaten für die Algorithmen zur Berechnung der assoziierten Ordnungen. Folgende Daten werden benötigt:

• Eine O_{K}-Basis ω_{1}, …, ω_{9} der betrachteten Ideale 𝔭_{L}^{i}, i ∈ {0, 1, 8}, im Beispiel 1, bzw. eine O_{K,(3)}-Basis ω_{1}, …, ω_{27} von 𝔭_{L}^{i},i ∈ {8, 9, 10}, im Beispiel 2. (Da es sich in Beispiel 2 um eine lokale Fragestellung handelt und L/K außerhalb der 3 höchstens zahm verweigt ist, genügt es die Lokalisierung nach der 3 zu betrachten.)

• Die von diesen Basiswahlen festgelegten Darstellungsmatrizen A(σ) ∈ GL_{n}(O_{K}) (bzw. Gl_{n}(O_{K,(3)}), so daß gilt:

( ω_{1} ; ⋮ ; ω_{n} )^{σ} = A(σ) ( ω_{1} ; ⋮ ; ω_{n} ) , σ ∈ G, n = [L : K].

Die Berechnung dieser Daten erfolgt unter Verwendung der expliziten Resultate von R. Schertz (siehe [Sch1], [Sch2]) über Potenzganzheitsbasen in Strahlklassenerweiterungen von imaginär-quadratischen Zahlkörpern (siehe auch [Bl,Bu], Abschnitt 5). Für ein ganzes Ideal 𝔣 = Zω_{1} + Zω_{2} in K mit Im\frac{ω_{1}}{ω_{2}} > 0 und ξ ∈ K \ 𝔣 sei

P (ξ |𝔣) = (\frac{℘ (ξ |𝔣)}{(2π)^{2}η(\frac{ω_{1}}{ω_{2}} )^{4}ω_{2}^{−2}} )^{2} ,

wobei ℘ die Weierstraßsche ℘-Funktion und η die Dedekindsche η-Funktion bezeichnet. Wir wählen nun die Ideale 𝔣 und 𝔤, sowie δ, ξ ∈ K gemäß nachfolgender Tabelle

𝔣  𝔤  δ  ξ  N
Beispiel 1 (3^{2}) \begin{matrix}𝔭_{2}𝔭_{5} = \\ (1 + \sqrt{−1})(2 + \sqrt{−1}) \end{matrix} (1 + \sqrt{−1})(2 + \sqrt{−1}) 9 K(9)
Beispiel 2 (3^{3})  𝔭_{2}𝔭_{5}  (1 + \sqrt{−1})(2 + \sqrt{−1}) 27 K(27)

und setzen β = (P (δ |𝔣𝔤) − P (ξ |𝔣𝔤))^{−1}. Dann erzeugt β eine Potenzganzheitsbasis von N/K und es gilt ferner: 𝔭_{N} = (β). Die Galoisgruppe G(N/K) ist über die Artinabbildung isomorph zu (O_{K}/𝔣)^{∗}/ < \sqrt{−1} > und daher leicht zu berechnen. Bezeichnen wir für α ∈ O_{K}, (𝔣, α) = 1, mit σ(α) den zugehörigen Frobeniusautomorphismus , so gilt:

β^{σ(α)} = (P (δα |𝔣𝔤) − P (ξα |𝔣𝔤))^{−1} .

Somit lassen sich durch die numerische Berechnung der singulären Werte der P -Funktion sämtliche Konjugierte von β berechnen. Zur Auswertung der P - Funktion wurden folgende q-Entwicklungen herangezogen:

℘ (z |{τ \atop 1} ) = 2πi (\frac{1}{12} + ∑_{m∈Z} \frac{q_{τ}^{m}q_{z}}{(1 − q_{τ}^{m}q_{z})^{2}} − 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{nq_{τ}^{n}}{1 − q_{τ}^{n}} ) ,

η(τ) = e^{2πiτ/24} (1 + ∑_{1}^{∞}(−1)^{n} (q_{τ}^{n(3n−1)/2} + q_{τ}^{n(3n+1)/2})) ,

mit q_{τ} = e^{2πiτ}, q_{z} = e^{2πiz}, |q_{τ} | < |q_{z}| < 1/|q_{τ} |. Da P elliptisch und homogen vom Grad 0 ist, reichen diese Formeln zur Berechnung der Funktionswerte aus. Wir setzen nun π = N_{N/L}(β) und erhalten damit einen Erzeuger des Hauptideals 𝔭_{L}. Im folgenden werden die numerischen Werte für die Konjugierten, sowie das Minimalpolynom von π aufgelistet, wobei hier nur die jeweils ersten 50 Stellen der berechneten Werte wiedergegeben werden. Tatsächlich wurde im Beispiel 1 mit einer Genauigkeit von 100 Stellen und im Beispiel 2 gar mit 200 Stellen gerechnet. Beispiel 1:

π^{σ_{1}} = −0.0276611165821520491624575990580997528587243075307

−0.0191715411737699968642797107424176881780822184545 ∗ i

π^{σ_{2}} = −0.5579341436140554623596149166794014721379983472792

−0.6531629796639617631462698494703684735901319446110 ∗ i

π^{σ_{3}} = −0.0227580489124981828123290731630790778981475372382

+0.2248775374751511751539724871325096506567609766661 ∗ i

π^{σ_{4}} = 2.09253785824783528454814986367316153132095030992647

−0.2599911871429338880698859415115309170854094327929 ∗ i

π^{σ_{5}} = −8.7518780811848992089948261346398504334995913221470

+3.6177644229262511697187509909219748784887996746193 ∗ i

π^{σ_{6}} = −2.6961127025186337211652907242840127971290953813334

+0.5861996491516141998468807673926465655601961036277 ∗ i

π^{σ_{7}} = −0.5491516345844688201604460295067416475649518026922

+0.5016800389971228127031519352216031029314601947142 ∗ i

π^{σ_{8}} = −2.3597882545686779129486261359663688129964062647874

+2.8275135031854295438303834388745960898078191596007 ∗ i

π^{σ_{9}} = −2.1272538762824499269445592503756075372360353469179

+2.1742905562450967468272958821809867914085874866301 ∗ i

Das Minimalpolynom von π im Beispiel 1:

x^{9} + (15 − 9i) ∗ x^{8} + (36 − 90i) ∗ x^{7} + (−90 − 171i) ∗ x^{6} + (−171 + 252i) ∗ x^{5} +(333 + 828i) ∗ x^{4} + (567 + 756i) ∗ x^{3} + (441 + 261i) ∗ x^{2} + (81 − 36i) ∗ x + 3

Beispiel 2:

π^{σ_{1}} = −0.000055151939012486444402752346319948654255461507 +

+0.0000046908375028320383789404574091581958625412790 ∗ i

π^{σ_{2}} = −0.004264160920441455457445869521946516626979232439 +

+0.0010638441764132158936902710083949322643754836456 ∗ i

π^{σ_{3}} = −0.000165590200337695083203080018387541132353841885

−0.000056597173580515749566229378230267246496920391 ∗ i

π^{σ_{4}} = −0.006018032556780237428297625493670885827352387208

−0.034280607843070488131014265857755771195536509012 ∗ i

π^{σ_{5}} = −1.796479739677956932629157293420629257834963773817

−0.780423274741395308644578600895951574189472829672 ∗ i

π^{σ_{6}} = 0.2960389010638285132130680542559024796276814918863

−0.254486517294457804130222293037958013331135333814 ∗ i

π^{σ_{7}} = −8.254708103244257378894368141268754853596444479863

−5.114990828103075935934185417435669636584368689551 ∗ i

π^{σ_{8}} = −11.92114624877994978142732077431400090785399359273

−6.084370441705935236293036649658328009173530596981 ∗ i

π^{σ_{9}} = −46.26215371679457617883716002942773191474993437261

+25.497717124367951517386849295930720846055098882267 ∗ i

π^{σ_{10}} = 4.2921246416371093839911717015024465685746128612787

−70.22163353458812208925333704294906737522738680205 ∗ i

π^{σ_{11}} = −0.874609970672685657437362185130727232756263706394

−0.929299496635937527516943125056828103189974960452 ∗ i

π^{σ_{12}} = 0.4311966839512391325636772321420779451947516547126

+1.9135276322607023740237699102032490060939160513853 ∗ i

π^{σ_{13}} = −2.369379320629122491196294475535532719250986964521

+2.7145341949307325278323208755247956450906263120185 ∗ i

π^{σ_{14}} = −0.024670081798268604127746834585258193658614708711

+1.0452578040065320770835468944869180075611795813699 ∗ i

π^{σ_{15}} = −6.645541530858906630053608570682027900551329099836

+23.531088912147917984151403971176349392421907815704 ∗ i

π^{σ_{16}} = −5.090897614170793700110352711814214693637916759459

+6.9841627027089131929429131838585206479444253352443 ∗ i

π^{σ_{17}} = −32.89631925376315214562946229260173082510474919727

−34.22961750847421931669365928207139198671715739898 ∗ i

π^{σ_{18}} = −0.105861649555387152513131003770531553181218768221

+0.4865028722592694040864960902240064810605267180587 ∗ i

π^{σ_{19}} = −0.050197881641081669509794956600479361009923056933

−0.017476315876585825957572416391835783656403788298 ∗ i

π^{σ_{20}} = 0.2810198749100539813418038204722761344799782025903

−4.125248403434276430672704804023547385966130145052 ∗ i

π^{σ_{21}} = −0.758375963992493105379433488272430019708739244331

+0.0288377651003634210528270639490789292307034071580 ∗ i

π^{σ_{22}} = 25.025835397072867458639797024712321755038479396658

+10.497586218680746704666208599241331606724453716273 ∗ i

π^{σ_{23}} = 0.4807656669642331098772022949941629249071305267797

−0.226622487201136026773437145705213732393027871777 ∗ i

π^{σ_{24}} = −0.494201898407925561106205438962504889774548305400

−1.393171683234427246196639338624794361465260410701 ∗ i

π^{σ_{25}} = 5.4564120771979325398001017023012147466398725862817

+4.7011823968292402969737544458966051409406480073452 ∗ i

π^{σ_{26}} = −0.807615042479955811838399241047737360766216756127

−1.468367372194561831468969521218588289202996703728 ∗ i

π^{σ_{27}} = 1.0992677092858205556763249344342140212142769891018

+2.4785789101944960352837065903477804959551551087277 ∗ i

Es folgen nun die Koeffizienten des Minimalpolynoms m(x) von π, wobei wir m(x) = ∑_{i=0}^{27} c_{i}x^{i} schreiben:

c_{0} = 3,
c_{1} = 70956 − 891 ∗ i,
c_{2} = 317625516 − 73814085 ∗ i,

c_{3} = 75051026361 − 12695272677 ∗ i,
c_{4} = 1505297430900 − 2628067717611 ∗ i,
c_{5} = −7984107971685 − 37871739693225 ∗ i,
c_{6} = −28918315377108 + 7520297349411 ∗ i,
c_{7} = −196561245907143 + 13963147232427 ∗ i,
c_{8} = −308815282456623 + 110747291873679 ∗ i,
c_{9} = −18804095601129 + 369471345997086 ∗ i,
c_{10} = 228681214179210 + 582845239515006 ∗ i,
c_{11} = 305400843457398 + 961205437147248 ∗ i,
c_{12} = 266853466273635 + 840598142223672 ∗ i,
c_{13} = 2479663635840 + 581460744113073 ∗ i,
c_{14} = −56133171518121 + 314554545568719 ∗ i,
c_{15} = −54922950730701 + 107541011842344 ∗ i,
c_{16} = −27575733826296 + 28710115162038 ∗ i,
c_{17} = −8133215322420 + 4575878534844 ∗ i,
c_{18} = −1674559608948 + 651174109974 ∗ i,
c_{19} = −273687165306 − 63796239594 ∗ i,
c_{20} = −26099532414 − 27821404440 ∗ i,
c_{21} = −900574218 − 3570982992 ∗ i,
c_{22} = 33510357 − 172900134 ∗ i,
c_{23} = 5201244 − 2173023 ∗ i,
c_{24} = 129156 + 79155 ∗ i,
c_{25} = 3969 + 3789 ∗ i,
c_{26} = 81 + 45 ∗ i,
c_{27} = 1.

Im weiteren unterscheidet sich der Rechengang zwischen den Beispielen 1 und 2, da es im letzteren nur auf die Lokalisierung nach dem Primideal 3O_{K} ankommt, im ersteren jedoch alle Rechnungen global durchgeführt werden müssen. Wir beschreiben zunächst die Implementation des ersten Beispiels. Unser erstes Ziel ist die Konstruktion einer Basis von 𝔭_{L}^{i}, i = 0, …, 8, über O_{K}. Dazu verschaffen wir uns zuerst ein Erzeugendensystem von 𝔭_{L}^{i}. Die Differente D_{K(9)/L} ist durch 𝔭_{K(9)} gegeben. Wegen

T r_{K(9)/L}(𝔭_{K(9)}^{k}) ⊆ 𝔭_{L}^{i}
⟺ 𝔭_{K(9)}^{k−2i} ⊆ D_{K(9)/L}^{−1} = 𝔭_{K(9)}^{−1}
⟺ i ≤ [\frac{k + 1}{2}]

ist ein Erzeugendensystem von 𝔭_{L}^{i} durch die Elemente

ϑ_{j} = T r_{K(9)/L}(β^{k(i)+j}), j = 0, …, 17, k(i) = \{ \begin{matrix}0, & falls i = 0, \\ 2i − 1, & falls i > 0, \end{matrix}

gegeben. Als nächstes berechnen wir die Matrix S ∈ K^{9×18}, so daß gilt:

(ϑ_{0}, …, ϑ_{17}) = (π^{σ_{1}}, …, π^{σ_{9}}) S.  (1)

Dabei schreiben wir hier und auch im Rest der Arbeit stets G = {σ_{1}, …, σ_{9}}. Zur Berechnung der j-ten Spalte von S setzen wir zunächst

ϑ_{j} = ∑_{s=1}^{9} x_{s}π^{σ_{s}}

mit Unbekannten x_{s} an. Hierauf wenden wir die Automorphismen σ_{t} ∈ G(L/K) an und erhalten ein lineares Gleichungssystem

ϑ_{j}^{σ_{t}} = ∑_{s=1}^{9} x_{s}π^{σ_{s}σ_{t}}, 1 ≤ s, t ≤ 9,

d.h. es ist

\underbrace{(π^{σ_{s}σ_{t}})_{t,s}}_{=:M} ( x_{1} ; ⋮ ; x_{9} ) = ( ϑ_{j}^{σ_{1}} ; ⋮ ; ϑ_{j}^{σ_{9}} )

für j = 0, …, 17 zu berechnen. Damit lassen sich die Einträge der Matrix S als komplexe Näherungen genügend genau berechnen. Da die weiteren Rechnungen jedoch exaxt durchgeführt werden sollen, werden wir diese Einträge nun auf die Form (x + y\sqrt{−1})/d mit x, y, d ∈ Z, d > 0,bringen. Dazu berechnen wir den Index

d = [O_{L} : O_{K}[G]π]_{O_{K}} = (\frac{det(M)^{2}}{d_{L/K}} )^{1/2} = (\frac{det(M)^{2}}{3^{16}} )^{1/2} = \frac{det(M)}{3^{8}}.

Hierfür gilt dann dS ∈ O_{K}^{9×18} und die Einträge lassen sich problemlos runden. Es sei nun d_{1} ∈ O_{K} das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner der Koeffizienten von S. Um nun aus (1) eine Basis von 𝔭_{L}^{i} zu konstruieren, berechnen wir die Hermitesche Normalform der Matrix d_{1}S und bezeichnen diese mit H = H(d_{1}S) = (H_{1}, 0), H_{1} ∈ O_{K}^{9×9}. Dann ist durch die Komponenten des Vektors

\frac{1}{d_{1}} (π^{σ_{1}}, …, π^{σ_{9}})H_{1}  (2)

eine Basis ω_{1}, …, ω_{9} von 𝔭_{L}^{i} gegeben und die davon induzierten Darstellungsmatrizen A(σ_{s}) berechnen sich aus

A(σ_{s}) = H_{1}^{t}B(σ_{s})(H_{1}^{t})^{−1},

wobei wir mit B(σ_{s}) die reguläre Darstellung bezüglich der kanonischen Basis σ_{1}, …, σ_{9} bezeichnen. Obwohl die Berechnung der Hermiteschen Normalform vom theoretischen Standpunkt aus gesehen völlig trivial ist (man beachte, daß O_{K} euklidisch ist), stößt man doch rasch und insbesondere auch in diesem Fall auf erhebliche numerische Schwierigkeiten. Daher ist es unbedingt nötig eine “modulo D”-Technik anzuwenden (siehe [Co], §2.4.2). Bezeichnen wir mit W das von den Spalten von d_{1}S über O_{K} aufgespannte Gitter im K^{9}, so folgt wegen 9π^{σ_{s}} ∈ 𝔭_{L}^{i}, s = 1, …, 9 aus (1), daß 9d_{1} eine obere Schranke (bezüglich der Teilbarkeit) für den Exponenten von O_{K}^{9}/W ist. Im folgenden werden die Matrizen H_{1}, sowie deren Hauptnenner d_{1}, für i ∈ {0, 1, 8} aufgelistet. Die Komponenten der Form (a, b) ∈ Z^{2} sind dabei als Koordinaten bezüglich der Basis 1, \sqrt{−1} zu interpretieren; (a, b) entspricht also a + b\sqrt{−1}. Der Fall i = 0: d_{1} = 3563166

H_{1} =

( \begin{matrix}(801, 739) & 0 & 0 0 0 0 0 0 0 \\ (801, 739) & (196860, 177174) & 0 0 0 0 0 0 0 \\ (355149, −392981) & (−196860, −177174) & (0, −3563166) 0 0 0 0 0 0 \\ (602397, −458465) & (1240218, −1378020) & 0 (0, −3563166) 0 0 0 0 0 \\ (−1062345, −1349333) & (−1043358, 1555194) & 0 0 (0, −3563166) 0 0 0 0 \\ (1409523, 624265) & (−1240218, 1378020) & 0 0 0 (0, −3563166) 0 0 0 \\ (−1515123, 737383) & 0 & 0 0 0 0 (0, −3563166) 0 0 \\ (1409523, 624265) & 0 & 0 0 0 0 0 (0, −3563166) 0 \\ (−1515123, 737383) & (1043358, −1555194) & 0 0 0 0 0 0 (0, −3563166) \end{matrix} )

Der Fall i = 1: d_{1} = 1187722

H_{1} =

( \begin{matrix}(801, 739) & 0 & 0 0 0 0 0 0 0 \\ (801, 739) & (59058, −65620) & 0 0 0 0 0 0 0 \\ (355149, −392981) & (−59058, 65620) & (0, −1187722) 0 0 0 0 0 0 \\ (−585325, −458465) & (−459340, −413406) & 0 (0, −1187722) 0 0 0 0 0 \\ (125377, −161611) & (518398, 347786) & 0 0 (0, −1187722) 0 0 0 0 \\ (221801, −563457) & (459340, 413406) & 0 0 0 (0, −1187722) 0 0 0 \\ (−327401, −450339) & 0 & 0 0 0 0 (0, −1187722) 0 0 \\ (221801, −563457) & 0 & 0 0 0 0 0 (0, −1187722) 0 \\ (−327401, −450339) & (−518398, −347786) & 0 0 0 0 0 0 (0, −1187722) \end{matrix} )

Der Fall i = 8: d_{1} = 1187722

H_{1} =

( \begin{matrix}(801, 739) & 0 & 0 0 0 0 0 0 0 \\ (801, 739) & (59058, −65620) & 0 0 0 0 0 0 0 \\ (355149, −392981) & (−59058, 65620) & (0, −3563166) 0 0 0 0 0 0 \\ (602397, −458465) & (−459340, −1601128) & 0 (0, −3563166) 0 0 0 0 0 \\ (−1062345, −1349333) & (518398, 1535508) & 0 0 (0, −3563166) 0 0 0 0 \\ (1409523, 624265) & (1647062, 413406) & 0 0 0 (0, −3563166) 0 0 0 \\ (−1515123, 737383) & (1187722, −1187722) & 0 0 0 0 (0, −3563166) 0 0 \\ (1409523, 624265) & (−1187722, 1187722) & 0 0 0 0 0 (0, −3563166) 0 \\ (−1515123, 737383) & (−1706120, −347786) & 0 0 0 0 0 0 (0, −3563166) \end{matrix} )

Für den Algorithmus zur Berechnung der assoziierten Ordnungen benötigen wir zunächst einen Normalbasiserzeuger θ ∈ 𝔭_{L}^{i}. Obwohl ein solches Element auf einfache Weise algorithmisch berechnet werden kann (siehe [Gi] oder [Bl2]), wurde an dieser Stelle nur geraten. Tatsächlich stellt man fest, daß “nahezu alle” Elemente eine Normalbasis erzeugen. Für die weiteren Rechnungen setzen wir mehr oder weniger willkürlich

θ = 9(ω_{3} + ω_{8}),

wobei durch den zusätzlichen Faktor 9 gewährleistet wird, daß A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) in der Maximalordnung enthalten ist. Da der Algorithmus zur Berechnung von A_{K}(𝔭_{L}^{i}) und A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) bereits in [Bl,Bu] ausführlich beschrieben ist, begnügen wir uns hier mit der Darstellung der Ergebnisse. Die angegebenen Gruppenringelemente λ_{1}, …, λ_{9} stellen dabei stets eine O_{K}-Basis der jeweiligen Moduln dar. Die assoziierte Ordnung für i = 0:

λ_{1} = \frac{−i}{3} ∗ σ_{1} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{2} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{3} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{4} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{5}

+\frac{2i}{3} ∗ σ_{6} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{7} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{8} + \frac{2i}{3} ∗ σ_{9},

λ_{2} = σ_{2}, λ_{3} = σ_{3}, λ_{4} = σ_{4},
λ_{5} = σ_{5}, λ_{6} = σ_{6}, λ_{7} = σ_{7},
λ_{8} = σ_{8}, λ_{9} = σ_{9}.

Es folgt A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) für i = 0:

λ_{1} = \frac{801 + 739i}{64136988} ∗ σ_{1} + \frac{61972329 + 44372983i}{64136988} ∗ σ_{2}

+\frac{9646941 + 22934929i}{64136988} ∗ σ_{3} + \frac{47533821 + 21826087i}{64136988} ∗ σ_{4}

+\frac{31793589 + 56370019i}{64136988} ∗ σ_{5} + \frac{29304585 + 17534539i}{64136988} ∗ σ_{6}

+\frac{5611209 + 22116379i}{64136988} ∗ σ_{7} + \frac{19225353 + 43382257i}{64136988} ∗ σ_{8}

+\frac{19076433 + 10718185i}{64136988} ∗ σ_{9}

λ_{2} = \frac{10 + 9i}{3258} ∗ σ_{2} + \frac{3067 + 534i}{3258} ∗ σ_{3} + \frac{1330 + 111i}{3258} ∗ σ_{4}

+\frac{323 + 345i}{543} ∗ σ_{5} + \frac{1507 + 1302i}{1629} ∗ σ_{6} + \frac{4 + 3i}{18} ∗ σ_{7}

+\frac{1 + 12i}{18} ∗ σ_{8} + \frac{1501 + 1188i}{3258} ∗ σ_{9}

λ_{3} = \frac{−i}{18} ∗ σ_{3} + \frac{3 + 2i}{9} ∗ σ_{4} + \frac{i}{3} ∗ σ_{5}

+\frac{3 + 2i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{3 + 8i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{5i}{18} ∗ σ_{8}

+\frac{6 + 17i}{18} ∗ σ_{9}

λ_{4} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{4} + \frac{6 + 7i}{9} ∗ σ_{5} + \frac{7 + i}{9} ∗ σ_{6}

+\frac{8}{9} ∗ σ_{7} + \frac{8 + 8i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{5i}{9} ∗ σ_{9}

λ_{5} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{5} + \frac{2}{9} ∗ σ_{6} + \frac{6 + 8i}{9} ∗ σ_{7}

+\frac{1 + 7i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{5 + 6i}{9} ∗ σ_{9}

λ_{6} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{5 + 5i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{2 + 2i}{3} ∗ σ_{8} + \frac{8 + 3i}{9} ∗ σ_{9}
λ_{7} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{i}{9} ∗ σ_{9}
λ_{8} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{2 + i}{3} ∗ σ_{9}
λ_{9} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{9}

Die assoziierte Ordnung für i = 1: λ_{1} = σ_{1}, λ_{2} = σ_{2}, λ_{3} = σ_{3}, λ_{4} = σ_{4}, λ_{5} = σ_{5}, λ_{6} = σ_{6}, λ_{7} = σ_{7}, λ_{8} = σ_{8}, λ_{9} = σ_{9}. Und hier A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) für i = 1:

λ_{1} = \frac{801 + 739i}{21378996} ∗ σ_{1} + \frac{1679961 + 904909i}{2375444} ∗ σ_{2} + \frac{735033 + 1954829i}{2375444} ∗ σ_{3}

+\frac{198173 + 727021i}{2375444} ∗ σ_{4} + \frac{16438509 + 6918787i}{21378996} ∗ σ_{5}

+\frac{3791529 + 748943i}{21378996} ∗ σ_{6} + \frac{2207097 + 741777i}{2375444} ∗ σ_{7}

+\frac{552521 + 333301i}{2375444} ∗ σ_{8} + \frac{658465 + 2198541i}{2375444} ∗ σ_{9}

λ_{2} = \frac{9 − 10i}{3258} ∗ σ_{2} + \frac{90 + 81i}{181} ∗ σ_{3}

+\frac{1197 + 118i}{3258} ∗ σ_{4} + \frac{854 + 1565i}{1629} ∗ σ_{5} + \frac{940 + 665i}{1629} ∗ σ_{6}

+\frac{7 + 12i}{18} ∗ σ_{7} + \frac{66 + 168i}{181} ∗ σ_{9}

λ_{3} = \frac{−i}{18} ∗ σ_{3} + \frac{7}{9} ∗ σ_{5} + \frac{5 + 2i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{i}{18} ∗ σ_{8} + \frac{17i}{18} ∗ σ_{9}
λ_{4} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{4} + \frac{3 + 2i}{9} ∗ σ_{5} + \frac{1 + i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{4 + 8i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{1}{3} ∗ σ_{8} + \frac{4 + 7i}{9} ∗ σ_{9}
λ_{5} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{5} + \frac{7 + 7i}{9} ∗ σ_{6}
λ_{6} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{6}
λ_{7} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{4 + 4i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{3 + 2i}{9} ∗ σ_{9}
λ_{8} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{1 + 5i}{9} ∗ σ_{9}
λ_{9} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{9}

Zuletzt der Fall i = 8. Hier die assoziierte Ordnung:

λ_{1} = \frac{−i}{3} ∗ σ_{1} + \frac{i}{3} ∗ σ_{3}

+\frac{1}{3} ∗ σ_{4} + \frac{2 + 2i}{3} ∗ σ_{5} + \frac{1 + 2i}{3} ∗ σ_{6}

+\frac{2}{3} ∗ σ_{7} + \frac{1 + i}{3} ∗ σ_{8} + \frac{2 + i}{3} ∗ σ_{9},

λ_{2} = \frac{−i}{3} ∗ σ_{2} + \frac{i}{3} ∗ σ_{3} + \frac{2 + 2i}{3} ∗ σ_{4}

+\frac{1}{3} ∗ σ_{5} + \frac{2}{3} ∗ σ_{6} + \frac{1 + 2i}{3} ∗ σ_{7} + \frac{2 + i}{3} ∗ σ_{8} + \frac{1 + i}{3} ∗ σ_{9},

λ_{3} = σ_{3}, λ_{4} = σ_{4}, λ_{5} = σ_{5}, λ_{6} = σ_{6}, λ_{7} = σ_{7}, λ_{8} = σ_{8}, λ_{9} = σ_{9}.

A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) für i = 8:

λ_{1} = \frac{801 + 739i}{64136988} ∗ σ_{1} + \frac{63022249 + 12061695i}{64136988} ∗ σ_{2}

+\frac{33539183 + 37430387i}{64136988} ∗ σ_{3} + \frac{25642989 + 38231087i}{64136988} ∗ σ_{4}

+\frac{33355345 + 21906395i}{64136988} ∗ σ_{5} + \frac{25065533 + 8255871i}{64136988} ∗ σ_{6}

+\frac{7986653 + 7863715i}{64136988} ∗ σ_{7} + \frac{48918403 + 32692759i}{64136988} ∗ σ_{8}

+\frac{18111353 + 9121993i}{21378996} ∗ σ_{9},

λ_{2} = \frac{9 − 10i}{9774} ∗ σ_{2} + \frac{5964 + 9241i}{9774} ∗ σ_{3} + \frac{6989 + 5186i}{9774} ∗ σ_{4}

+\frac{1940 + 1746i}{4887} ∗ σ_{5} + \frac{940 + 2475i}{4887} ∗ σ_{6} + \frac{13 + 14i}{54} ∗ σ_{7}

+\frac{14 + 49i}{54} ∗ σ_{8} + \frac{2998 + 2119i}{9774} ∗ σ_{9},

λ_{3} = \frac{−i}{18} ∗ σ_{3} + \frac{5i}{9} ∗ σ_{4} + \frac{2 + 2i}{3} ∗ σ_{5} + \frac{7 + 2i}{9} ∗ σ_{6}

+\frac{i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{4 + 17i}{18} ∗ σ_{8} + \frac{6 + i}{18} ∗ σ_{9},

λ_{4} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{4} + \frac{1 + 7i}{9} ∗ σ_{5} + \frac{4 + 5i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{7i}{9} ∗ σ_{7}

+\frac{5 + 2i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{3 + 7i}{9} ∗ σ_{9},

λ_{5} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{5} + \frac{5 + 8i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{2 + 2i}{3} ∗ σ_{7} + \frac{4 + 5i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{2 + 5i}{9} ∗ σ_{9},
λ_{6} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{6} + \frac{8 + 5i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{2 + 3i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{3 + i}{9} ∗ σ_{9},
λ_{7} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{7} + \frac{4 + 8i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{1}{9} ∗ σ_{9},
λ_{8} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{8} + \frac{4 + 8i}{9} ∗ σ_{9},
λ_{9} = \frac{−i}{9} ∗ σ_{9}.

Wir kommen nun zur Berechnung eines galoiserzeugenden Elements und gehen dabei wie in [Bl1] beschrieben vor. Die Charakterwerte eines jeden nicht-trivialen linearen Charakters χ von G erzeugen den Kreiskörper M = Q(ζ_{12}). Es sei G =< σ > × < τ >. Dann ist die Wedderburnzerlegung von K[G] explizit durch

Φ : K[G] ⟶ K ⊕ M ⊕ M ⊕ M ⊕ M
σ ⟼ (1, 1, ζ_{3}, ζ_{3}, ζ_{3})
τ ⟼ (1, ζ_{3}, 1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2})

gegeben.

Die Idealklassengruppe von M ist bekannterweise trivial und als Basis von O_{M} über O_{K} wählen wir 1, ζ_{3}. Bezeichnen wir mit χ_{ij}, 0 ≤ i, j ≤ 2 den eindeutigen Charakter mit σ ↦ ζ_{3}^{i}, τ ↦ ζ_{3}^{j} und schreiben e_{ij} für das gewöhnliche Idempotent zu χ_{ij}, so bilden die Elemente e_{1} = e_{00}, e_{2} = e_{01} + e_{02}, e_{3} = e_{10} + e_{20}, e_{4} = e_{11} + e_{22}, e_{5} = e_{12} + e_{21} ein System von orthogonalen, primitiven K[G]-Idempotenten. Die Maximalordnung M_{K[G]} wird über O_{K} durch die Elemente e_{1}, e_{2}, τe_{2}, e_{3}, σe_{3}, e_{4}, σe_{4}, e_{5}, σe_{5} erzeugt. Die Berechnug der Indizes (α_{1}) = [A_{θ}(𝔭_{L}^{i})e_{1} : A_{K}(𝔭_{L}^{i})e_{1}]_{O_{K}} bzw. (α_{j}) = [A_{θ}(𝔭_{L}^{i})e_{j} : A_{K}(𝔭_{L}^{i})e_{j}]_{O_{M}} , j = 2, …, 5, sowie von [A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}} liefert nun die folgenden Resultate Der Fall i = 0:

α_{1}^{−1} = (−3 + 5i)/612,
α_{2}^{−1} = (12 − 16ζ_{12} − 55ζ_{12}^{2} + 9ζ_{12}^{3})/1737,
α_{3}^{−1} = (−27 + 8ζ_{12} − 29ζ_{12}^{2} + 22ζ_{12}^{3})/1629,
α_{4}^{−1} = (27 − 22ζ_{12} − 56ζ_{12}^{2} − 8ζ_{12}^{3})/3258,
α_{5}^{−1} = −1/9.

[A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}} = 45247613751288 + 4212035556408i

Der Fall i = 1:

α_{1}^{−1} = (−3 + 5i)/612,
α_{2}^{−1} = (12 − 16ζ_{12} − 55ζ_{12}^{2} + 9ζ_{12}^{3})/1737,
α_{3}^{−1} = (−27 + 8ζ_{12} − 29ζ_{12}^{2} + 22ζ_{12}^{3})/1629,
α_{4}^{−1} = (27 − 22ζ_{12} − 56ζ_{12}^{2} − 8ζ_{12}^{3})/3258,
α_{5}^{−1} = −1/9.

[A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}} = −4212035556408 + 45247613751288i.

Der Fall i = 8:

α_{1}^{−1} = (−3 + 5i)/612,
α_{2}^{−1} = (12 − 16ζ_{12} − 55ζ_{12}^{2} + 9ζ_{12}^{3})/1737,
α_{3}^{−1} = (−27 + 8ζ_{12} − 29ζ_{12}^{2} + 22ζ_{12}^{3})/1629,
α_{4}^{−1} = (27 − 22ζ_{12} − 56ζ_{12}^{2} − 8ζ_{12}^{3})/3258,
α_{5}^{−1} = −1/9.

[A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}} = −4212035556408 + 45247613751288i.

Man verifiziert nun verifiziert die Gleichheit

[A_{θ}(𝔭_{L}^{i})M_{K[G]} : M_{K[G]}]_{O_{K}} = [A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{O_{K}} ,

wobei die linke Seite durch α_{1} ∏_{j=1}^{4} N_{M/K}(α_{j}) gegeben ist. Nach dem Kriterium von Fröhlich liefert dies nochmals den (numersichen) Nachweis, daß 𝔭_{L}^{i} für i ∈ {0, 1, 8} lokal frei über seiner assoziierten Ordnung ist. Wir sind nun endlich bei unserem eigentlichen Problem, der Frage nach der globalen Freiheit von A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) (und damit von 𝔭_{L}^{i}) über A_{K}(𝔭_{L}^{i}), angelangt. Dazu wenden wir Theorem 2.8 und Lemma 2.9 aus [Bl1] an. Es sei R ein Vertretersystem von im (O_{M}^{∗} → (O_{M}/9)^{∗}). Da M den Einheitenrang 1 hat, ist R leicht zu berechnen und man erhält |R| = 216. Wir bestimmen nun eine untere Dreiecksmatrix S ∈ O_{K}^{9×9}, so daß für eine neue Basis λ′_{1}, …, λ′_{9} von A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) gilt:

(e_{1}, e_{2}, τe_{2}, e_{3}, σe_{3}, e_{4}, σe_{4}, e_{5}, σe_{5}) = (λ′_{1}, …, λ′_{9})S.  (3)

Dazu gehen wir folgendermaßen vor: wir bestimmen zuerst die Matrix A ∈ K^{9×9} mit

(e_{1}, e_{2}, τe_{2}, e_{3}, σe_{3}, e_{4}, σe_{4}, e_{5}, σe_{5})A = (λ_{1}, …, λ_{9}),

sowie deren Hauptnenner d. Sodann berechnen wir die Hermitesche Normalform H von dA. Dann gilt H = dAU mit einer Matrix U ∈ Gl_{9}(O_{K}) und daher

(e_{1}, e_{2}, τe_{2}, e_{3}, σe_{3}, e_{4}, σe_{4}, e_{5}, σe_{5}) = (λ_{1}, …, λ_{9})U · dH^{−1}.

Setzt man also S = dH^{−1}, so ist damit (3) erfüllt. Da im weiteren die Basiselemente λ′_{1}, …, λ′_{9} nicht benötigt werden, ist auch die Kenntnis von U nicht erforderlich. Man beachte auch, daß S tatsächlich ganzzahlige Einträge hat, da nach unserer Wahl von θ die Inklusion M_{K[G]} ⊆ A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) gilt. In der abschließenden Enumeration ist nun für alle Tupel (α_{1}^{−1}, α_{2}^{−1}ν_{2}, …, α_{5}^{−1}ν_{5}) mit ν_{2}, …, ν_{5} ∈ R zu testen, ob das Urbild unter Φ in A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) enthalten ist. Dazu schreiben wir α_{j}^{−1}ν_{j} = b_{j,1} + b_{j,2}ζ_{3} mit b_{j,1}, b_{j,2} ∈ K und setzen b = (α_{1}^{−1}, b_{1,1}, b_{1,2}, …, b_{5,1}, b_{5,2})^{t}. Dann gilt:

λ^{−1} := Φ^{−1}(α_{1}^{−1}, α_{2}^{−1}ν_{2}, …, α_{5}^{−1}ν_{5}) ∈ A_{θ}(𝔭_{L}^{i}) ⟺ S · b ∈ O_{K}^{9}.

Da S eine untere Dreiecksmatrix ist, kann dieser Test sukzessive durchgeführt werden, wodurch eine vollständige Enumeration erst ermöglicht wird. Es folgen nun die berechneten Gruppenringelemente λ^{−1} ∈ A_{θ}(𝔭_{L}^{i}), sowie die Minimalpolynome m(x) der λ^{−1}(θ), wobei wir m(x) = x^{9}+∑_{i=0}^{8} c_{i}x^{i} schreiben. Es sind hier, wie bereits bei der Darstellung der Konjugierten von π, nur die ersten 50 Dezimalstellen angegeben, obwohl tatsächlich miit einer Genauigkeit von 100 Stellen gerechnet wurde. Der Fall i = 0:

λ^{−1} = ((22297804651 − 92592162909i) ∗ σ_{1} + (69038418815 + 65606521377i) ∗ σ_{2}

+(−91335975315 + 26985732575i) ∗ σ_{3} + (69127031995 + 65611422137i) ∗ σ_{4} +(22341933251 − 92673902513i) ∗ σ_{5} + (22257343291 − 92671360741i) ∗ σ_{6} +(69086878335 + 65685458905i) ∗ σ_{7} + (−91384717919 + 27060374271i) ∗ σ_{8}

+(−91428821903 + 26988091563i) ∗ σ_{9})/21378996

Die Koeffizienten des Minimalpolynoms:

c_{0} = −21316500474993793399145199105536327941519612726100694.0000
+437800082160800949677697488006450111382766809.00000000000 ∗ i
c_{1} = −230772506698437262444778517805267215.00000000000000000000
+399245652659362540614820799999726204.99999999999999999999 ∗ i
c_{2} = −115344433403294526856649978343461303.99999999999999999999
+199695326806626535124759015295601410.00000000000000000000 ∗ i
c_{3} = −115319267414552694094821809960231987.99999999999999999999
+199738827095711554981970270197909965.00000000000000000000 ∗ i
c_{4} = 833203592143992836.99999999999999999999999999999999999999
+1440745079627188962.0000000000000000000000000000000000000 ∗ i
c_{5} = 831633514311304089.00000000000000000000000000000000000000
+1440745160302976849.9999999999999999999999999999999999999 ∗ i
c_{6} = 415907312899131351.00000000000000000000000000000000000000
+720372619959247547.99999999999999999999999999999999999999 ∗ i
c_{7} = 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
+0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∗ i
c_{8} = 2.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
+0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∗ i

Der Fall i = 1:

λ^{−1} = ((22297804651 − 92592162909i) ∗ σ_{1} + (69038418815 + 65606521377i) ∗ σ_{2}

+(−91335975315 + 26985732575i) ∗ σ_{3} + (69127031995 + 65611422137i) ∗ σ_{4} +(22341933251 − 92673902513i) ∗ σ_{5} + (22257343291 − 92671360741i) ∗ σ_{6} +(69086878335 + 65685458905i) ∗ σ_{7} + (−91384717919 + 27060374271i) ∗ σ_{8}

+(−91428821903 + 26988091563i) ∗ sigma_{9}/21378996

Die Koeffizienten des Minimalpolynoms:

c_{0} = −21316500474993793399145199105536327941519612726100694.000

+437800082160800949677697488006450111382766809.00000000000 ∗ i

c_{1} = −230772506698437262444778517805267215

+399245652659362540614820799999726204.99999999999999999999 ∗ i,

c_{2} = −115344433403294526856649978343461303.99999999999999999999

+199695326806626535124759015295601409.99999999999999999999 ∗ i,

c_{3} = −115319267414552694094821809960231987.99999999999999999999

+199738827095711554981970270197909965.00000000000000000000 ∗ i,

c_{4} = 833203592143992836.99999999999999999999999999999999999999

+1440745079627188961.9999999999999999999999999999999999999 ∗ i,

c_{5} = 831633514311304089.00000000000000000000000000000000000000

+1440745160302976849.9999999999999999999999999999999999999 ∗ i,

c_{6} = 415907312899131351.00000000000000000000000000000000000000

+720372619959247547.99999999999999999999999999999999999999 ∗ i,

c_{7} = 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000

+0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∗ i,

c_{8} = 2.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999

+ − 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∗ i.

Der Fall i = 8:

λ^{−1} = ((−10811229 − 333614037951i) ∗ σ_{1} + (288924666087 + 166797644727i) ∗ σ_{2}

+(−288911621499 + 166817212611i) ∗ σ_{3} + (−288950226357 + 166841751567i) ∗ σ_{4} +(−288949859361 + 166795350849i) ∗ σ_{5} + (288961242063 + 166818226797i) ∗ σ_{6} +(24596235 − 333636962757i) ∗ σ_{7} + (−14099403 − 333656057361i) ∗ σ_{8}

+(288925170273 + 166838443503i) ∗ σ_{9})/192410964

Die Koeffizienten des Minimalpolynoms:

c_{0} = 1105589725977897870984448604590469518657412009001.000000

−6075833773009483267483684550848288008120.000000000000000 ∗ i

c_{1} = −2901494945526676174162827023203817.999999999999999999999
+4999735025757524519882039272639680 ∗ i
c_{2} = −481297223552745255835749820672445.9999999999999999999999

+833595647383675534938642155864160.0000000000000000000000 ∗ i

c_{3} = −160381371053885191085241083626082.9999999999999999999999

+277788682077701031896002788707640.0000000000000000000000 ∗ i

c_{4} = −280785604103084331.0000000000000000000000000000000000000

−481375397983208039.9999999999999999999999999999999999999 ∗ i

c_{5} = −93074152955963085.00000000000000000000000000000000000000

−161212606416590039.9999999999999999999999999999999999999 ∗ i

c_{6} = −15510385294357545.00000000000000000000000000000000000000

−26864775602098199.99999999999999999999999999999999999999 ∗ i

c_{7} = −0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000

−0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∗ i

c_{8} = 8.999999999999999999999999999999999999999999999999999999

−0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∗ i

Abschließend wurden zur Verifikation der Resultate durch “Rückwärtsrechnen” die komplexen Näherungen von ε = λ^{−1}(θ) und seinen Konjugierten berechnet und daraus die Diskriminante von A_{K}(𝔭_{L}^{i})ε. Damit ist die Beschreibung des ersten Beispiels abgeschlossen und wir wenden uns nun dem Beispiel 2 zu. Prinzipiell wäre es möglich in diesem Fall genauso wie in Beispiel 1 vorzugehen, jedoch war dies wegen der Größe der zugrundeliegenden Körpererweiterungen ([K(27) : K] = 162) nicht möglich. Wir betrachten daher nur die Lokalisierung nach der 3 und schreiben ab sofort R = O_{K,(3)}. Da die Erweiterung L/K über (3) voll verzweigt ist, stellen die Potenzen π^{δ+j}, j = 0, …, 26, δ ∈ 0, …, 26}, eine R-Basis von 𝔭_{L}^{δ} dar.Mittels der Formel

[O_{L} : O_{K}[G]π]_{O_{K}} = (\frac{d_{L/K}(O_{K}[G]π)}{d_{L/K}})^{1/2} = \frac{d_{L/K}(O_{K}[G]π)^{1/2}}{3^{35}}

berechnen wir zunächst den Index D von O_{K}[G]π in O_{L} und schreiben D = 3^{t}D_{1} mit (D_{1}, 3) = 1, D_{1} ∈ O_{K}, t ∈ Z, t ≥ 0. Sodann berechnen wir die Übergangsmatrix T ∈ K^{27} für die gilt

D_{1} ( π^{δ} ; π^{δ+1} ; ⋮ ; π^{δ+26} ) = T ( π^{σ_{1}} ; ⋮ ; π^{σ_{27}} ) ,

wobei zu beachten ist, daß wegen (D_{1}, 3) = 1 die Komponeneten der linken Seite ebenfalls eine R-Basis von 𝔭_{L}^{δ} darstellen. Die Berechnung von T erfolgt nach demselben Verfahren wie diejenige von S in (1); eine Schranke für die Nenner der Einträge von T ist hier durch 3^{t} gegeben. Im Grunde gehen wir bei der Berechnung der assoziierten Ordnung wie in [Bl,Bu] vor, allerdings vermeiden wir die explizite Berechnung der Darstellungsmatrizen A(σ), σ ∈ G. Vielmehr setzen wir hier θ = ∑_{i=1}^{27} t_{i}π^{σ_{i}} mit t_{i} = t_{σ_{i}} ∈ O_{K}, so daß θ ∈ 𝔭_{L}^{δ} gilt und θ eine Normalbasis auf Körperniveau erzeugt. Explizit wählen wir θ = 3π. Zur Bestimmung von A_{θ}(𝔭_{L}^{δ}) setzen wir nun λ_{j} = ∑_{i=1}^{27} x_{i}σ_{i} für j = 0, …, 26 an und erhalten

λ_{j}(θ) = ∑_{k=1}^{27} (∑_{i=1}^{27} t_{σ_{k}σ_{i}^{−1}}x_{i}) π^{σ_{k}}.

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich aus der Gleichung λ_{j}(θ) = D_{1}π^{δ+j} = ∑_{k=1}^{27} T_{j+1,k}π^{σ_{k}} ein leicht zu lösendes lineares Gleichungssystem. A_{θ}(𝔭_{L}^{δ}) ist dann durch den R-Aufspann der Elemente λ_{0}, …, λ_{26} gegeben. Um einen reibungslosen Verlauf der weiteren Rechnungen zu garantieren, ist es notwendig, die Basis von A_{θ}(𝔭_{L}^{δ}) in eine für numerische Zwecke günstigere Form zu bringen. Dazu bestimmen wir den Hauptnenner d der Matrix S für die gilt

(λ_{0}, …, λ_{26}) = (σ_{1}, …, σ_{27})S

und berechnen die Hermitesche Normalform H von dS, wobei die Berechnung von H modulo dem Exponenten d erfolgen kann. Die Komponeneten von \frac{1}{d}(σ_{1}, …, σ_{27})S liefern nun eine R-Basis in unterer Dreiecksform. Das Dual der assoziierten Ordnung ist nun durch A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})^{∗} gegeben, wobei dieses Gitter zunächst durch die 27^{2} Elemente λ_{i}λ_{j}^{∗}, 0 ≤ i, j ≤ 26, erzeugt wird. Die Berechnung einer Basis führt wieder auf die Bestimmung der Hermiteschen Normalform einer Matrix A mit

(λ_{i}λ_{j}^{∗})_{0≤i,j≤26} = (σ_{1}, …, σ_{27})A,

wobei wegen M_{K[G]}^{∗} ⊆ A_{K}(𝔭_{L}^{δ})^{∗} ⊆ O_{K}[G]^{∗} = O_{K}[G] und 27M_{K[G]}^{∗} ⊆ O_{K}[G] modulo dem Exponenten 27 gerechnet werden kann. Ziel des letzten Abschnitts ist nun die Berechnung der Indizes [A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})M_{K[G]} : A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})]_{R} und [M_{K[G]} : A_{K}(𝔭_{L}^{δ})]_{R} und daran anschließend die Überprüfung von Fröhlichs Kriterium. Die Berechnung der Maximalordnung M_{K[G]} stellt dabei natürlich keine Schwierigkeit dar, einzig die Berechnung einer Basis von A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})M_{K[G]} ist ein gewisser numerischer Aufwand. Wir setzen nun I_{1} = [A_{θ}(𝔭_{L}^{i})(𝔭_{L}^{4})M_{K[G]} : A_{θ}(𝔭_{L}^{i})]_{R} und I_{2} = [M_{K[G]} : A_{K}(𝔭_{L}^{i})]_{R}. Es ergaben sich folgende Indizes:

\begin{matrix}i = 4 & I_{1} = 43046721 & I_{2} = 387420489 \\ i = 7 & I_{1} = 43046721 & I_{2} = 387420489 \\ i = 8 & I_{1} = 129140163 & I_{2} = 129140163 \\ i = 9 & I_{1} = 387420489 & I_{2} = 387420489 \\ i = 10 & I_{1} = 1162261467 & I_{2} = 1162261467 \\ i = 11 & I_{1} = 531441 & I_{2} = 129140163 \end{matrix}

Die Übereinstimmung der Indizes für δ ∈ {8, 9, 10} zeigt nun, daß hier 𝔭_{L}^{δ} lokal frei über seiner assoziierten Ordnung ist. Leider war es im zweiten Beispiel nicht möglich diese Resultate durch “Rückwärtsrechnen” zu verifizieren, zum einen weil Fröhlichs Kriterium keinen expliziten Erzeuger liefert, zum anderen weil es vermutlich die Größe des Beispiels ohnehin nicht erlauben würde. Jedoch geben die Resultate für δ = 4, 7, 11 (hier liefern Resultate theoretischer Natur, daß [A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})M_{K[G]} : A_{θ}(𝔭_{L}^{δ})]_{R} ein echter Teiler von [M_{K[G]} : A_{K}(𝔭_{L}^{δ})]_{R} ist) durchaus Anlaß, an die Verläßlichkeit der gefundenen Resultate zu glauben.

Literatur

[Bl1] W.Bley, Computing associated orders and Galois generating elements, erscheint im J.Number Theory.

[Bl2] W.Bley, An algorithmic approach to determining local and global module structures, Anhang zu [Bu], preprint 1996.

[Bl,Bu] W. Bley, D. Burns, Über Arithmetische Assoziierte Ordnungen, erscheint im J.Number Theory.

[Bu] D. Burns, On the equivariant structure of ideals in Galois extensions of fields, Preprint 1996.

[Co] H.Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer Verlag 1993.

[Er,Ta] B.Erez, M. Taylor Hermitian modules in Galois extensions of number fields and Adams operation, Annals of Math. 135 (1992) 271 - 296.

[Fr] A.Fröhlich, Invariants for modules over commutative separable orders, Quart. J. Math. Oxford 16 (1965) 193-232.

[Gi] K. Girstmair, A Remark on Normal Bases, preprint.

[Sch1] R.Schertz, Konstruktion von Potenzganzheitbasen in Strahlklassenkörpern über imaginär-quadratischen Zahlkörpern, Crelle 398 (1989) 105-129.

[Sch2] R.Schertz,Zur expliziten Berechnung von Ganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über einem imaginär-quadratischen Zahlkörper, J.Number Theory 34, (1990) 41-53.

[KA] J. Graf v. Schmettow, (it KANT - a tool for computations in algebraic number fields, in: A. Pethö, M.E.Pohst, H.C. Williams, H.G.Zimmer (eds.), “Computational Number Theory”, Walter de Gruyter 1991, 321-330.