Der Schwerpunkt in Forschung und Lehre liegt im Grenzgebiet von reiner Mathematik (reelle Analysis) und angewandter Mathematik (mathematische Stochastik). Dazu zählen insbesondere die Bereiche:
(1) Abstrakte Maß- und Integrationstheorie
Die Problemstellungen reichen hier von einer einheitlichen Behandlung der Begriffe ``Maß'' und ``Integral'' aus verbandstheoretischer Sicht, d.h. unter dem Oberbegriff der ``Bewertung'', bis zu inversen Problemen, wie sie sich in allgemeinen Modellen der Computer-Tomographie stellen. So wird in [1] untersucht, welche Mengen durch Kenntnis der darüber erstreckten Integrale einer Familie von Testfunktionen (im Rahmen der ``fuzzy sets'') eindeutig bestimmt sind, während in [2] die Fragestellung lokal statt global behandelt wird. Berührungspunkte ergeben sich dabei u.a. mit der konvexen Analysis (Wertebereich von Vektormaßen) und der Kombinatorik (0/1-Matrizen).
(2) Topologische Maßtheorie
Bei der Konstruktion von (Wahrscheinlichkeits-) Maßen, etwa zur Lösung von Optimierungsproblemen, ist i.a. eine topologische Struktur des zugrunde liegenden Raumes erforderlich. Im Rahmen der ``Radon-Maße'' lassen sich dann beispielsweise - in Verallgemeinerung des klassischen Transportproblems - Marginalprobleme der Stochastik besonders gut behandeln (vgl. [3]). Neben Methoden der Funktionalanalysis spielen dabei - etwa bei der Anwendung auf kausal-probabilistische Expertensysteme - auch Begriffe der Graphentheorie eine Rolle. In diesen Bereich fallen ferner allgemeine maßtheoretische Versionen der linearen Programmierung, die sich meist mit Hilfe von Markov-Kernen darstellen lassen und eine Übertragung der Dualitätssätze vom diskreten auf den kontinuierlichen Fall gestatten (vgl. [4]).
(3) Stochastische Prozesse
Besonderes Interesse besitzen gegenwärtig stochastische dynamische Systeme, die im zeitlich diskreten Fall aus einem zufälligen Anfangszustand rekursiv mittels einer Folge unabhängiger und identisch verteilter zufälliger Abbildungen des Zustandsraumes entstehen und als ``iterated function systems'' in Verbindung mit fraktalen Mengen im vergangenen Jahrzehnt sehr populär geworden sind. Sind - wie in vielen Anwendungen - der Zustandsraum die positiven reellen Zahlen und die zulässigen Abbildungen affin, so ist eine Klassifikation gemäß (topologischer) Rekurrenz bzw. Transienz möglich. Im rekurrenten Fall lassen sich - wie bei räumlich diskreten Markov-Ketten - Existenz und Eindeutigkeit eines invarianten Maßes nachweisen und - entsprechend einem endlichen oder unendlichen Gesamtmaß - Positiv- und Null-Rekurrenz unterscheiden. Das invariante Maß gestattet es, Attraktor und asymptotisches Verhalten des Prozesses in allgemeinen Ergodensätzen zu beschreiben [5]. Wie sich gezeigt hat, lassen sich diese Ergebnisse weitgehend auf den nichtlinearen Fall übertragen, falls die zugrunde liegenden Abbildungen ordnungserhaltend sind [6].