Aktuelle Forschungstätigkeit



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Aktuelle Forschungstätigkeit

Meine Forschungen im Gebiet der Spektraltheorie von Differentialoperatoren der Mathematischen Physik konzentrieren sich auf Regularitätsaussagen für schwache Lösungen. Dabei galt mein Hauptinteresse von Anfang an dem bis dahin wenig untersuchten Fall von Schrödingeroperatoren mit Potentialen, die nicht einem endlichen Grenzwert zustreben. Eine Mittelwertungleichung für schwache Lösungen von Differentialungleichungen dient als Grundlage sowohl für den Nachweis lokaler Regularität, wie lokaler Beschränktheit, Hölderstetigkeit und Harnackungleichung, als auch globaler Aussagen wie dem Abklingen von Eigenlösungen. Die Frage der Lipschitzstetigkeit der Ableitungen ist bislang noch ungeklärt. Ebenfalls in diesen Problemkreis gehören neuere Versionen von Hardy-Rellich-Ungleichungen, die in Zusammenarbeit mit E. B. Davies (FRS) vom King's College in London erarbeitet wurden.

Einen neuen mathematischen Forschungszweig haben meine Fragen nach Auftreten und Verhalten von Eigenwerten in Lücken des (absolut)stetigen Spektrums begründet (Arbeiten von M.Klaus, P.Deift und R.Hempel). Die Suche nach dem Spektrum eines in meiner Dissertation diskutierten Beispiels führte zur Betrachtung von Operatoren mit radialsymmetrischen Potentialen, die überraschende Ergebnisse zu Tage förderte, so das Auftreten von Intervallen dichten Punktspektrums bei solchen Operatoren, einem Phänomen, das bis dahin nur von weitaus komplizierteren Beispielen bekannt war und mittlerweile bei vielen Operatoren untersucht wurde. Der elementare Charakter dieser Beispiele gestattet es nun, numerische Untersuchungen der Verteilung von Eigenwerten in Angriff zu nehmen, was in einem gemeinsamen Projekt mit M. Brown und D. McCormack von der Universität von Wales in Cardiff geschehen soll, das von DAAD und British Council gefördert wird und an dem auch unsere Assistenten T. Kriecherbauer und K.-M. Schmidt beteiligt sind.

Die zufällige Begegnung mit dem mathematischen Spiel Turm von Hanoi brachte mich auch zur Beschäftigung mit Fragestellungen der Diskreten Mathematik, zum Beispiel der Betrachtung des mittleren Abstands auf dem zugehörigen Graphen, die sich durch Grenzübergang übertragen ließ auf die Bestimmung des mittleren Abstands zweier Punkte des Sierpinskidreiecks, der sich als 466/885 herausstellte. Weitere Zusammenhänge bestehen zum Pascalschen Dreieck, sowie zu quadratfreien Zeichenreihen. Angeregt durch Testreihen am Münchner Klinikum Bogenhausen, stellte ich einen Algorithmus dar, der eine bessere Beobachtung von Testpersonen, die mit dem Turm von Hanoi konfrontiert werden, gestattet. Weitere Untersuchungen in diesem Zusammenhang betreffen zahlentheoretisch-kombinatorische Zählfunktionen.

Der auf weiten Strecken elementare Charakter der Ergebnisse zum Turm von Hanoi kommt auch meinem Anliegen entgegen, das Wesen und die Schönheit der Mathematik innerhalb und außerhalb des Kreises der professionellen Mathematiker darzustellen. Ob angeregt bei zufälligen Begegnungen auf Reisen, ausgelöst durch Fragen in Vorlesungen oder zur Unterstützung von Kollegen anderer Fachrichtungen, ist es mir stets ein Bedürfnis, neue Aspekte wissenschaftlicher und wissenschaftshistorischer Erkenntnisse zu verbreiten. Dazu gehören auch meine Bemühungen, Lücken in den Darstellungen moderner Mathematik in Lehr- und Fachbüchern zu füllen und schwer zugängliche, aber wichtige Details in meinen Vorlesungen mundgerecht herauszuarbeiten.


Hauber
Wed Nov 20 16:14:16 MET 1996