Komplexe Analysis ist die moderne Bezeichnung und Weiterentwicklung der Theorie der analytischen Funktionen einer und mehrerer komplexer Veränderlichen. Die Beschäftigung mit Funktionen von komplexen Variablen verdankt ihren Ursprung u.a. der Tatsache, daß viele im Reellen zunächst rätselhafte Phänomene ihren wahren Grund erst nach Fortsetzung ins Komplexe zeigen.
Die Komplexe Analysis kann in München auf eine gute Tradition zurückblicken. Fritz Hartogs (1874 - 1943) und Constantin Carathéodory (1873 - 1950) waren Mitbegründer der heutigen Funktionentheorie mehrerer komplexer Veränderlichen. 1955 wurde Karl Stein aus der von Heinrich Behnke begründeten Münsteraner Schule der Funktionentheorie nach München berufen. Man verdankt Stein u.a. den Begriff der holomorph-vollständigen Mannigfaltigkeiten, die später ihm zu Ehren Steinsche Mannigfaltigkeiten genannt wurden, und die Einführung von Methoden der Algebraischen Topologie in die Komplexe Analysis. Auch nach seiner Emeritierung im Jahr 1981 blieb K. Stein noch aktiv.
Ein besonderes Kennzeichen der heutigen Komplexen Analysis ist, daß sie z.T. enge Verbindungen zu sehr vielen anderen Gebieten der Mathematik hat: Reelle Analysis, Funktional-Analysis, Algebraische Topologie, Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie, Differentialtopologie, Garben- und Cohomologietheorie. Bereits klassisch ist die Verbindung der Komplexen Analysis mit der Analytischen Zahlentheorie. Neuerdings gibt es über die Theorie der elliptischen Kurven auch eine Beziehung zur Algorithmischen Zahlentheorie. Verschiedene Teile der Komplexen Analysis, wie die Theorie der komplexen Vektorbündel und die Deformationstheorie komplexer Strukturen sowie die damit zusammenhängende Theorie der Modulräume, haben auch für die Theoretische Physik Bedeutung gewonnen.