Arbeitsfeld



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Mein Arbeitsgebiet ist die Strukturtheorie von Ringen und Moduln. In den zurückliegenden Jahren bewegte sich meine Forschungstätigkeit vorwiegend in zwei Teilgebieten, die sich zunehmend gegenseitig anregten und durchdrangen.

1) Algebraisch kompakte Moduln und matrizielle Untergruppen

Die genaue Kenntnis der algebraisch kompakten Moduln über einen Ring ist deshalb von Bedeutung, weil jeder andere Modul reiner Untermodul eines solchen ist. Algebraisch kompakte Moduln sind im wesentlichen ,,duale Moduln``, sie besitzen gute Struktureigenschaften und können in sehr unterschiedlicher Weise gekennzeichnet werden (algebraisch, topologisch, homologisch, modell-theoretisch). Eine der subtilsten Beschreibungen, die auch zu einer genauen internen Charakterisierung -algebraisch kompakter Moduln führte, verwendet sogenannte matrizielle Untergruppen [5]. Es hat sich mittlerweile herausgestellt, daß diese ein äußerst nützliches Hilfsmittel der Modultheorie sind. Beispielsweise konnte mit ihrer Hilfe eine Teilantwort zu einem berühmten Problem der Darstellungstheorie bewiesen werden [7]. Derzeit arbeite ich am weiteren Ausbau der ,,matriziellen Modultheorie``, in erster Linie untersuche ich Moduln mit Kettenbedingungen für matrizielle Untergruppen [8].

2) Darstellungstheorie artinscher Ringe und Algebren

Ihr Ziel ist es, die Modulkategorie zu einem ,,konkret`` gegebenen artinschen Ring möglichst genau zu beschreiben. Ein erster wichtiger Schritt ist die Auflistung und Beschreibung der endlich erzeugten unzerlegbaren Moduln sowie der Homomorphismen dazwischen. Zu diesem Problem wurden in den vergangenen 25 Jahren mit völlig neuen Methoden außerordentlich eindrucksvolle Ergebnisse erzielt. Einen zentralen Platz unter diesen neuen Instrumentarien nimmt die Theorie der Auslander-Reiten-Folgen ein. Die Existenz solcher Folgen war zuerst von Auslander und Reiten für endlich erzeugte Moduln über Artin-Algebren bewiesen worden. Dagegen gibt es zum Problem der Existenz über Artin-Ringen, die nicht Artin-Algebren sind, viele offene Fragen: In diesem Fall brauchen Auslander-Reiten-Folgen nicht mehr zu existieren; falls sie aber existieren, haben sie eventuell völlig andere Eigenschaften als im Algebren-Fall [6]. Zu diesem interessanten und schwierigen Gebiet konnten meine Doktoranden L. Angeleri Hügel und M. Schmidmeier ausgezeichnete Resultate beitragen.



Hauber
Wed Nov 20 16:14:16 MET 1996