Ursprünglich habe ich in der Komplexen Analysis gearbeitet und
in diesem Gebiet insbesondere meine Dissertation und meine Habilitation
geschrieben.
Dabei standen elementare Fragestellungen über holomorphe
Funktionen auf Banachräumen im Vordergrund, wie etwa die
nach der Konstruktion der Holomorphiehülle eines Gebietes
in einem Banachraum oder die nach der Lösung des Levi-Problems in
unendlichdimensionalen Räumen. Meine letzte Arbeit in diesem Arbeitsfeld
erschien 1983 (vgl. [1]).
Seit 1980 interessiere ich mich mehr und mehr für
Modelle der Mathematischen Physik; insbesondere für die mathematische
Formulierung solcher Modelle zusammen
mit den dadurch aufgeworfenen Fragen innerhalb der Mathematik und
für die Rückwirkungen auf die Mathematik in dem Sinne, daß
physikalische Einsichten zu interessanten mathematischem Ergebnissen
und Vermutungen führen. In diesem Zusammenhang sind die
Donaldson-Invarianten oder die neuen Seiberg-Witten-Invarianten
für Viermannigfaltigkeiten als Beispiele zu nennen, wie auch die geometrische
Interpretation der Jones-Polynome nach E. Witten, bei der gewisse
Knoteninvarianten - die Jones-Polynome - über die Quantisierung
der Chern-Simons-Theorie als geometrische Größen verstanden werden können.
Zu dem von Witten initiierten Programm bezüglich dieser Interpretation,
das mathematisch bis heute noch nicht in allen Aspekten
fundiert werden konnte, stellt die
Dissertation [4] zusammen mit der nachfolgenden
Veröffentlichung [2]
einen Beitrag dar. An diesem Problemkreis - insbesondere in Verbindung mit
der Konformen Feldtheorie und der Algebraischen Geometrie -
forsche ich immer noch, in der Hoffnung weitere Ergebnisse zu erzielen.
Neuerdings sehe ich auch einen vielversprechenden Zusammenhang mit der
Deformationsquantisierung, die allerdings erst in der neuen Form
einer sogenannten ,,holomorphen
Deformation von lokalkonvexen Hopf-Algebren`` bei den Quantisierungsproblemen
der Chern-Simons-Theorie zur Anwendung kommt.
(Über das neue Konzept einer holomorphen Deformation von Algebren
und Ko-Algebren und über Anwendungen auf Quantengruppen
arbeite ich zusammen mit meinem ehemaligen Doktoranden
M. Pflaum [133]; eine Veröffentlichung unserer Ergebnisse
wird in Kürze erscheinen.)
Mein Interesse für die Mathematische Physik drückt sich auch durch
eine Reihe von Vorlesungen und Seminaren zu diesem Thema aus,
die ich in den letzten 15 Jahren veranstaltet habe, wie zum
Beispiel ,,Klassische Mechanik und Symplektische Geometrie``,
,,Geometrische Quantisierung``,
,,Semi-Riemannsche Geometrie und Relativitätstheorie``,
,,Lineare Operatoren und Quantenmechanik``, ,,Symmetrien in der
Quantenmechanik``, ,,Nichtkommutative Geometrie``, ,,Streutheorie``,
,,BRST-Quantisierung``, ,,Stringtheorie``, ,,Konforme Feldtheorie``,
,,Symmetrie und Geometrie in der Physik``,
,,Eichtheorie und ihre Quantisierung``,
u.a.m. Ein Teil der in diesen Vorlesungen gewonnenen Erfahrungen
habe ich in den Büchern [36] und [37] verarbeitet.
Die drei kürzlich abgeschlossenen Dissertationen spiegeln ebenfalls
meine Interessen wider: [133] über einen neuen Ansatz zur
Deformationsquantisierung, [138] über neue Invarianten von
Viermannigfaltigkeiten, die Verwandtschaft haben mit den mittlerweile
fast als klassisch zu geltenden Donaldson-Invarianten, und [71],
über Spin-Strukturen und Verallgemeinerungen mit dem Ziel der
Anwendungen auf den Fall einer Raum-Zeit.
Am Mathematischen Institut konnte mit der Hilfe von Professoren der Physik im Jahre 1993 ein Graduiertenkolleg eingerichtet werden - das Graduiertenkolleg ,,Mathematik im Bereich ihrer Wechselwirkung mit der Physik``. Es ist klar, daß ich diese Institution sehr begrüßt und unterstützt habe. Zur Zeit bin ich Sprecher des Kollegs.