Arbeitsfeld



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In der Mathematischen Physik betrachtet man häufig Ensembles von Massenpunkten (Teilchen), die mittels Gravitation oder durch elektrostatische oder elektrodynamische Kräfte wechselwirken. Beispiele für solche Ensembles sind Galaxien - hier spielen die Sterne die Rolle der Massenpunkte -, Plasmen - hier spielen die Elektronen und Ionen die Rolle der Teilchen - oder Halbleiterbausteine. Die Verteilung der Teilchen in solchen Vielteilchensystemen ist gegeben durch ihre Dichte im Phasenraum. Diese Dichte erfüllt eine Kontinuitätsgleichung, welche mit Feldgleichungen für die Beschreibung der Kraftfelder gekoppelt wird. Die so entstehenden, nichtlinearen Systeme partieller Differentialgleichungen werden als Transportgleichungen bezeichnet.

Ein Beispiel für ein derartiges System ist das Vlasov-Poisson-System, welches die zeitliche Entwicklung einer Galaxie im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie beschreibt:

Dabei ist die Dichte der Sterne im Orts-Geschwindigkeitsraum, ihre räumliche Dichte und das von den Sternen kollektiv erzeugte Gravitationspotential; die unabhängigen Variablen t,x,v stehen für die Zeit-, Orts- bzw. Geschwindigkeitskoordinaten. Ersetzt man die Gravitationswechselwirkung durch elektromagnetische Wechselwirkung wie im Fall eines Plasmas, so ergibt sich das Vlasov-Maxwell-System, geht man zu einer Beschreibung im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie über, so ergibt sich das Vlasov-Einstein-System.

In meiner wissenschaftlichen Arbeit beschäftige ich mich mit Fragen nach der globalen Existenz von Lösungen, mit dem qualitativen Verhalten der Lösungen, mit der Existenz stationärer, d. h. zeitunabhängiger Lösungen und mit deren Stabilität. Dabei bedeutet globale Existenz, daß die Lösungen für geeignete, zum Zeitpunkt t=0 vorgegebene Anfangsdaten für alle Zeit existieren, d. h. das beschriebene physikalische System entwickelt keine Singularitäten. Die Frage, welche Anfangsdaten zu globaler Existenz und welche zur Entstehung von Singularitäten führen, ist z. B. bei der Untersuchung von Raumzeit-Singularitäten und Schwarzen Löchern in der allgemeinen Relativitätstheorie wichtig. Eine stationäre Lösung nennt man stabil, wenn das System nach kleinen Auslenkungen aus dem stationären Zustand in dessen Nähe verbleibt. Die Frage, ob stationäre Lösungen stabil sind, ist für die Beurteilung ihrer physikalischen Relevanz wichtig, da nur hinreichend stabile Modelle in der Natur ,,realisiert`` werden. Sie spielt aber auch in Anwendungen, z. B. in der Fusionsforschung, eine erhebliche Rolle.

Bei der Behandlung dieser Fragen arbeite ich auch mit Wissenschaftlern aus dem Bereich der Physik, z. B. vom Max-Planck-Institut für Astrophysik in Garching, vom Max-Planck-Institut für Gravitationsforschung in Potsdam und vom Institute for Fusion Studies in Austin, Texas, zusammen.


Hauber
Wed Nov 20 16:14:16 MET 1996