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Innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt mein Interesse vor allem der Untersuchung von stochastischen Modellen mit räumlicher Struktur. Dies sind Modelle von Zufallsgrößen, die im Raum angeordnet sind und deren gegenseitige stochastische Abhängigkeit durch ihre jeweilige Lage im Raum bestimmt ist. Dazu gehören an erster Stelle die in der klassischen Statistischen Mechanik betrachteten Modelle realer Systeme, d.h. Systeme von zufälligen Spins auf einem Kristallgitter (als Modell etwa für eine ferromagnetische Substanz) oder von Teilchen im Kontinuum (als Modell für ein reales Gas). Wesentlich hierbei ist die räumliche Wechselwirkung zwischen den Spins oder Teilchen, die z.B. für das Phänomen des Phasenübergangs verantwortlich ist. Mit im Blickpunkt sind natürlich auch verwandte Modelle und Fragen der zeitlichen Entwicklung solcher Systeme. Zwei Themenkreise seien hier besonders hervorgehoben:

Das Phasenübergangsproblem. Mathematisch umgesetzt wird dies in ein Problem der Mehrdeutigkeit für die sogenannten Gibbsmaße, welche die Gleichgewichtszustände physikalischer Systeme modellieren. Für Gittersysteme ist dieser Problemkreis ausführlich in der Monographie [19] (siehe die Liste der Buchveröffentlichungen) abgehandelt. Bemerkenswerterweise kann das Auftreten eines Phasenübergangs in vielen Fällen zurückgeführt werden auf die Existenz unendlich großer Cluster in gewissen Perkolationsmodellen, d.h. in geeignet definierten zufälligen Graphen. Dieser Zusammenhang bestätigt sich auch bei dem sehr viel schwierigeren Problem des Phasenübergangs für Teilchensysteme im Kontinuum [5].

Die ``Theorie großer Abweichungen''. Diese beschäftigt sich mit der präzisen Größenordnung sehr kleiner Wahrscheinlichkeiten. Angewandt auf Gibbsmaße, erlaubt sie befriedigende Antworten auf einige klassische Fragen der Statistischen Mechanik wie z.B. die Existenz des Drucks im thermodynamischen Limes, das Variationsprinzip zur Charakterisierung der Gleichgewichtszustände, und das Problem der ``Äquivalenz der Ensembles'' im thermodynamischen Limes, bei dem es um die Gleichwertigkeit verschiedener mathematischer Beschreibungen von Gleichgewichtszuständen geht. Siehe hierzu etwa [1], [2], [3]. Ein Beispiel für ein ganz anderes Anwendungsgebiet ist die Theorie der Warteschlangennetze, vgl. Dissertation [118].

Stellvertretend für weitere Forschungsinteressen sei abschließend noch die Arbeit [4] genannt, bei der es um das Langzeitverhalten gewisser zufälliger dynamischer Systeme geht.



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Hauber
Wed Nov 20 16:14:16 MET 1996