Der Doppelspalt-Versuch

Um in der folgenden Darstellung auf ein konkretes Experiment verweisen zu können, beginnen wir mit einer knappen Darstellung der wichtigsten Aspekte des sogenannten Doppelspalt-Versuchs.

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Abbildung 1: Einzelnes Teilchen, beide Spalte offen.

Läßt man einzelne Teilchen aus einer geeigneten Quelle auf einen Schirm mit zwei parallelen Spalten treffen, so beobachtet man auf einer hinter dem Schirm aufgestellten Photoplatte einzelne punktförmige Schwärzungen (Abb. 1).

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Abbildung 2: Viele Teilchen, ein Spalt offen.

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Abbildung 3: Viele Teilchen, ein Spalt offen.

Schließt man jeweils einen der Spalte und wiederholt den Versuch oft (man kann auch einen Teilchenstrahl verwenden), so findet man auf der Photoplatte einen schwarzen Streifen, der als ein Bild des jeweils offenen Spaltes verstanden werden kann (Abb. 2, 3).

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Abbildung 4: Viele klassische Teilchen, beide Spalte offen.

Würden die Teilchen den klassischen, d.h. Newtonschen, Bewegungsgesetzen gehorchen, sollten, falls beide Spalte geöffnet werden, einfach zwei Streifen auf der Photoplatte erscheinen (Abb. 4).

Macht man diesen Versuch aber mit Teilchen aus dem atomaren Bereich, so findet man auf der Photoplatte Interferenzmuster, ähnlich wie sie bei der Interferenz von Lichtwellen beobachtet werden (Abb. 5).

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Abbildung 5: Viele atomare Teilchen, beide Spalte offen.

Die Bewegung der Teilchen im atomaren Bereich erfolgt also nicht nach den klassischen Bewegungsgesetzen.

Im Bereich atomarer Teilchen steht man damit vor folgender Situation: Einzelne Teilchen treten nacheinander durch einen Doppelspalt und erzeugen auf der Photoplatte einzelne punktförmige Schwärzungen. In Summe führen die einzelnen Schwärzungen jedoch zu Interferenzmustern, wie sie sonst nur von Wellen bekannt sind. Deshalb spricht man auch vom Dualismus von Welle und Teilchen.

Der Doppelspalt-Versuch in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik haben atomare Gebilde wie Elektronen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften. Dabei wird der Welle-Teilchen Dualismus in dem Sinne verstanden, daß ein Elektron, während es durch die beiden Spalte tritt, als Welle beschrieben werden muß; erst wenn man es mit der Photoplatte zwingt, seine Position preiszugeben, verhält es sich wie ein Teilchen und verursacht eine punktförmige Schwärzung.

Quantenmechanik ist also keine Theorie, die die Bewegung von punktför-migen Teilchen durch Raum und Zeit beschreibt. Vielmehr macht sie Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Ergebnisse von Experimenten. Im Doppelspalt-Versuch beschreibt sie z.B. korrekt die Form des Interferenzmusters, nicht aber den Weg, auf dem ein einzelnes Teilchen zu dem Ort der punktförmigen Schwärzung gelangt und wie diese Schwärzung zustande gekommen ist.

Der Begriff der Bahn eines Teilchens hat in der Quantenmechanik keinen Sinn.

Werner Heisenberg

Auf die tiefliegenden Probleme der Quantenmechanik, die schon bei der Erklärung des Doppelspalt-Versuchs deutlich werden, macht das folgende Zitat aufmerksam:

We choose to examine a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality it contains the only mystery. We cannot make the mystery go away by `explaining' how it works.

Richard Feynman, zum Doppelspalt-Versuch

Bohmsche Mechanik

Bohmsche Mechanik -- benannt nach dem Physiker David Bohm, der 1952 die Grundlagen dieser Theorie schuf -- ist eine deterministische, Galilei-invariante (d.h. nichtrelativistische) Theorie für die Bewegung von Punktteilchen.

Bohmsche Mechanik und die nichtrelativistische Quantenmechanik machen die gleichen Vorhersagen in Bezug auf Ergebnisse von Experimenten.

Die Quantenmechanik übernimmt die Rolle eines ,,phänomenologischen`` Meßformalismus der Bohmschen Mechanik, wodurch die Probleme und Paradoxa der Quantenmechanik gelöst werden können.

Um eine Vorstellung von der Dynamik Bohmscher Teilchen zu bekommen, kann man sich folgendes Bild machen. Die Teilchen laufen entlang von Bahnen, wobei ihre Bewegung von einer Welle bestimmt wird. Ähnlich wie Wellenreiter auf einer Wasserwelle werden sie von der Schrödingerschen Wellenfunktion geführt (Abb. 6). Die mathematische Formulierung dieser bildhaften Vorstellung findet sich weiter unten.

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Abbildung 6: Ein (eigentlich punktförmiges) Teilchen wird von einer Welle auf einem hochdimensionalen Raum, dem Konfigurationsraum, geführt.

Der Doppelspalt-Versuch in der Bohmschen Mechanik

Die Bohmsche Mechanik beschreibt wie die Newtonsche Mechanik die Bewegung von Teilchen entlang von Bahnen. Sie ist also in diesem Sinne eine ,,klassische`` Theorie, aber eben mit anderen Bewegungsgleichungen. Dennoch ist sie in der Lage, die Beobachtungen beim Doppelspalt-Versuch korrekt wiederzugeben.

Anders als die Quantenmechanik liefert sie allerdings nicht nur die Form des Interferenzmusters, sondern auch Informationen über die Bahnen einzelner Teilchen. In Abb. 7 sind einige mögliche Bahnen Bohmscher Teilchen hinter dem Doppelspalt dargestellt.

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Abbildung 7: Bohmsche Bahnen im Doppelspalt-Versuch.

Man sieht hier deutlich, daß die Bahnen nicht Newtonsch sind, d.h. die Teilchen bewegen sich im Bereich hinter den Spalten nicht auf geraden Bahnen, sondern folgen den Maxima der Schrödingerschen Welle.

Die Form der Wellenfunktion ist zwar für alle Teilchen gleich, da sie aber innerhalb der Quelle an verschiedenen Orten starten, kommen sie auch an verschiedenen Orten auf dem Schirm an.

  
Abbildung 8: David Bohm (1917-1992) im Jahr 1989. Er lehrte zuletzt am Birkbeck College in London.

Die Theorie: Bohmsche Mechanik

Der Zustand eines physikalischen Systems von N Teilchen mit Massen tex2html_wrap_inline383 ist in Bohmscher Mechanik durch
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gegeben, wobei tex2html_wrap_inline385 die Ortskoordinaten der N Teilchen sind und tex2html_wrap_inline389 die Schrödingersche Wellenfunktion ist.

Die zeitliche Änderung der Wellenfunktion ist durch die Schrödingergleichung
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bestimmt.

In der Bohmschen Mechanik hat die Wellenfunktion die Aufgabe, die Teilchen zu ,,führen``, d.h. die Wellenfunktion erzeugt ein Geschwindigkeitsfeld, dem die Teilchen folgen. Mathematisch wird dies durch eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ausgedrückt:


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Tatsächlich ist dies die einfachste Möglichkeit für eine Galilei-invariante Theorie der Bewegung von Teilchen. Die Theorie bestimmt direkt die Änderung der Teilchenorte.

Im Gegensatz dazu wird in der Newtonschen Mechanik die Änderung der Geschwindigkeiten beschrieben, also die Änderung der Änderung der Orte. Anstatt eines Geschwindigkeitsfeldes gibt es dort ein ,,Beschleunigungsfeld``, das man üblicherweise Kraftfeld nennt. Das Newtonsche Gesetz lautet


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wobei F die Kraft bezeichnet.

Forschungsschwerpunkte

Bohmsche Mechanik erklärt die Quantenmechanik, ähnlich wie die statistische Mechanik die Thermodynamik begründet. Die mathematisch wie physikalisch präzise Untersuchung dieses Zusammenhangs ist ein Schwerpunkt unserer Arbeitsgruppe. Dabei wurden folgende Aussagen bewiesen bzw. Fragestellungen behandelt:

Der zweite Forschungsbereich unserer Arbeitsgruppe sind relativistische Teilchentheorien:

Quantenmechanische Zeitmessung

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Abbildung 9: Das Experiment von vorhin, leicht abgewandelt: Wir haben den Doppelspalt entfernt und den Schirm mit einer Uhr verbunden, die anzeigt, wann das Elektron ankommt.

Jetzt entfernen wir die Spalte und fragen: Wann kommt das Elektron am Schirm an?

Wenn es sich um eine Billardkugel handeln würde, wäre die Antwort klar:


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Für Elektronen kann man diese Formel wegen der Unschärferelation nicht mehr anwenden.

Die Zeitmessung ist ein Beispiel für Schwierigkeiten in der Quantenmechanik: Der obige Versuch ist sicherlich durchführbar, aber man kann sein Ergebnis nicht mit Standard-Methoden der Quantenmechanik berechnen (,,es gibt keinen Operator für die Zeit``).

In Bohmscher Mechanik können wir ausrechnen, wann das Elektron am Detektor ankommt (wenn wir genau wissen, wo es gestartet ist, können wir seine Bahn berechnen).

Dieses Verfahren ist jedoch sehr aufwendig: Es müssen sehr viele Bahnen berechnet werden, da wir nie wissen können, wo genau das Elektron gestartet ist.

Wir können deshalb die Aufgabe umformulieren und nach der Wahrscheinlichkeit fragen, daß ein Elektron während eines Zeitintervalles tex2html_wrap_inline393 am Schirm auftrifft.

Die Situation ist ähnlich wie bei einem Gas: Damit ein Gasteilchen der Geschwindigkeit v innerhalb des Intervalls tex2html_wrap_inline393 auf einem Quadrat der Kantenlänge a auftreffen kann, muß es sich in einem Quader der Größe tex2html_wrap_inline401 befinden. Dazu muß noch die Dichte (Anzahl der Gasteilchen pro Volumeneinheit) multipliziert werden -- das Produkt Dichte tex2html_wrap_inline403 Geschwindigkeit bezeichnet man als Strom und schreibt dafür j.

Auch für das Elektron gibt es einen Strom (j ist der ,,quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsstrom``) und damit haben wir die Wahrscheinlichkeit, daß das Elektron zur Zeit tex2html_wrap_inline409 am Schirm ankommt:


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Diese Formel beruht auf dem Bahnbegriff und läßt sich deshalb in der Standard-Quantenmechanik nicht herleiten. In unserer Arbeitsgruppe untersuchen wir ihre Konsequenzen in Bohmscher Mechanik.

Rückkehr zu klassischem Verhalten in der Quantenmechanik

Alle bisherigen physikalischen Experimente sprechen dafür, daß die Natur den Gesetzen der Quantenmechanik gehorcht. Wieso tauchen dann die bizarren Welleneffekte, die wir im Doppelspaltexperiment kennengelernt haben, nicht auch im täglichen Leben überall auf? Einen Hinweis zur Klärung dieser Frage erhalten wir, wenn wir das Experiment noch einmal genauer betrachten.

Das Doppelspaltexperiment im Vakuum

Um den Welleneffekt nachweisen zu können, muß der gesamte Versuchsaufbau sehr sorgfältig von allen äußeren Einflüssen (z.B.Luft und Licht) abgeschirmt werden. In diesem Fall brauchen wir nur das einzelne Elektron, das durch die Apparatur fliegt, zu beschreiben. Mathematisch tun wir das, indem wir eine Funktion tex2html_wrap_inline411 bestimmen, die für jeden Ort x angibt, wie stark die Welle an dieser Stelle ist.

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Abbildung 10: Links die Analogie zum Doppelspalt im Vakuum: Die Überlagerung des Schalls bewirkt den Stereoklang. Rechts: Die Lautsprecher sind in der Höhe weit auseinander, man erhält zweimal den Monoklang. Dieser Fall entspricht dem Doppelspalt mit Luft.

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Abbildung 11: Links: Das Elektron im Vakuum. Die Teilwellen liegen nahe beisammen und können sich überlagern. Rechts: Mit Luft. Durch Stöße mit Gasmolekülen werden die Teilwellen im Konfigurationsraum (durch die y-Achse angedeutet) getrennt. Es gibt keine Überlagerung mehr.

Diese Welle trifft nun auf die Wand mit den beiden Schlitzen und durch jeden Schlitz tritt ein Teil der Welle hindurch. Hinter der Wand treffen sich die beiden Teilwellen wieder und überlagern sich, ganz ähnlich wie das beispielsweise Schallwellen aus zwei Lautsprechern tun. Im Falle der Lautsprecher entstehen die Töne, die wir dann hören, durch die Überlagerung des Schalls der beiden Lautsprecher. Analog dazu wird im Versuch die Bewegung des Teilchens durch die Überlagerung der beiden Teilwellen beeinflußt, so daß am Schirm das typische Wellenmuster entsteht.

Das Doppelspaltexperiment in Luft

Zusätzlich zu dem Elektron soll sich jetzt noch Luft zwischen der Wand mit dem Doppelspalt und dem Auffangschirm befinden. Jedes Gasmolekül wird ebenfalls durch eine Welle beschrieben. Die Stärke der Gesamtwelle hängt nun von der gesamten Konfiguration, d.h. nicht nur vom Ort x des Elektrons, sondern auch von den Orten tex2html_wrap_inline419 aller Gasmoleküle ab. Die Welle wird also nicht durch einen Punkt im dreidimensionalen Raum (entsprechend dem Ort des Elektrons), sondern durch einen Punkt in einem hochdimensionalen, sogenannten Konfigurationsraum festgelegt (entsprechend den Orten des Elektrons und aller Moleküle).

Wie zuvor tritt durch jeden der beiden Spalte ein Teil der Welle des Elektrons. Jede Teilwelle stößt auf ihrem Weg mit vielen Gasmolekülen zusammen und ändert so deren Orte. Entscheidend ist nun, daß, wie in Abb. 12 zu sehen ist, beide Teilwellen die Orte der Gasmoleküle unterschiedlich ändern.

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Abbildung 12: Der Teil der Welle, der durch den oberen Spalt austritt, beeinflußt die herumfliegenden Gasmoleküle anders als der Teil, der durch den unteren Spalt austritt.

Den Teilwellen entsprechen daher im Konfigurationsraum weitauseinander liegende Orte. Sie können sich nicht mehr überlagern. Im Beispiel mit den Lautsprechern hieße das, daß ein Lautsprecher ein paar Stockwerke höher steht. Die ausgesendeten Schallwellen sind dieselben, aber der Stereoeffekt geht verloren. Man kann nur entweder den einen oder den anderen hören. Analog werden auch die Elektronenteilchen im Versuch nicht von beiden, sondern immer nur von einer der Teilwellen geführt. Das Überlagerungsmuster auf dem Schirm verschwindet, wir erhalten stattdessen zwei Streifen, wie man sie auch klassisch erwartet hätte (Abb. 4).

Klassisches Verhalten eines Systems entsteht erst durch die Wechselwirkung mit seiner Umgebung.

Nichtlokalität

Die Bohmschen Teilchen werden von einer Welle auf dem Konfigurationsraum geführt. Wir haben bereits gesehen, daß dieser hochdimensionale Raum, anders als der Phasenraum in der klassischen Mechanik, keine mathematische Abstraktion darstellt, sondern für das Verständnis des Verhaltens Bohmscher Teilchen entscheidend ist.

Insbesondere hängt die Bewegung eines Teilchens von den Orten aller anderen Teilchen ab, egal wie weit diese entfernt sind!

Dieses nichtlokale Verhalten scheint zunächst nicht mit den Prinzipien der Relativitätstheorie vereinbar zu sein, da man immer angenommen hat, daß sich physikalische Wirkungen nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können.

Die fundamentale Arbeit von J.S. Bell zeigt jedoch zusammen mit dem Unvollständigkeitsargument von Einstein, Podolsky und Rosen, daß jede Theorie, die die quantenmechanische Statistik reproduziert, und damit auch die experimentellen Ergebnisse, nichtlokal sein muß.

Das EPR-Argument

Einstein, Podolsky und Rosen haben anhand eines Gedankenexperimentes gezeigt, daß die Quantentheorie unvollständig ist. Bohm gab eine vereinfachte Version an, die tatsächlichen Experimenten zugrunde liegt.

Man präpariert ein System aus zwei Spin-tex2html_wrap_inline421-Teilchen im sogenannten Singlett-Zustand, wobei sie in entgegengesetzte Richtungen auseinanderfliegen. In zwei weit voneinander entfernten Stern-Gerlach-Magneten werden die Teilchen entweder in Richtung des Nordpols oder des Südpols des jeweiligen Magneten abgelenkt (Abb. 13). Je nach Ablenkung des Teilchens sagt man, es habe Spin ,,up`` oder Spin ,,down``.

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Abbildung 13: Bei gleicher Orientierung der Magnete werden die Teilchen des EPR-Paars in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt.

Man stellt nun fest, daß, immer wenn die räumliche Orientierung der beiden Magnete übereinstimmt, beide Teilchen in entgegengesetzte Richtung abgelenkt werden. Dabei kann man die Orientierungen der Magnete so kurzfristig festlegen, daß kein Effekt, der sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, es den beiden Teilchen erlaubt, sich in ihrem Verhalten ,,abzusprechen``. Wenn man nun Lokalität annimmt, kann es nicht sein, daß sich ein Teilchen erst beim Durchgang durch den Magneten für den Nord- oder Südpol entscheidet, denn es könnte seine Entscheidung dem anderen Teilchen, das ja in genau die entgegengesetzte Richtung abgelenkt werden muß, nicht mehr rechtzeitig mitteilen. Die Teilchen müssen also schon vor dem Erreichen der Magnete die Information darüber bei sich tragen, wie sie in einem Magneten in beliebiger Orientierung abgelenkt werden. Da die Quantenmechanik diese Information nicht beschreiben kann, muß sie unvollständig sein, es muß zusätzliche ,,verborgene Parameter`` geben:


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Das Bellsche Theorem

Bell betrachtet dasselbe Experiment, konzentriert sich jedoch auf Korrelationen zwischen Ergebnissen der Spinmessungen bei unterschiedlicher Orientierung der beiden Magnete.

Er zeigt dann, daß die von der Quantenmechanik vorausgesagten Korrelationen nicht durch lokale verborgene Parameter erzeugt werden können:


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Zusammen mit dem EPR Argument ergibt sich, daß entweder Quantenmechanik falsche Vorraussagen macht oder Lokalität nicht gilt. Weil (die meisten) Experimente die quantenmechanischen Vorhersagen bestätigen, folgt:


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S. Teufel
Wed Oct 15 11:21:47 MET DST 1997